Давайте я чуть-чуть про ацтекский бриллиант добавлю: вот тут красивая картинка и пара ссылок —

Случайное замощение «ацтекского брильянта» доминошками (доминошки покрашены в 4 цвета — по тому, как в них расположена черная клетка)

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.

А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

А вот тут мы его (и разбиения, и треугольные доминошки, и асимптотику количества) уже обсуждали: https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/733

Полгода назад я тут, по случаю лекции Этьена Жиса в "математических вечерах ЛШСМ", вспоминал его книгу "A singular mathematical promenade" — теорему Концевича о билете в метро, комбинаторную задачу с ответом из Плутарха и доказательство Гаусса основной теоремы алгебры.

А сейчас вышел её перевод на русский — и за это огромное спасибо выполнившему его Евгению Смирнову!

карта из недавно вышедшей «Математической прогулки с осмотром особенностей» Э.Жиса (пер. Е.Ю.Смирнов)

«Эта книга видного французского ученого — неформальное введение (в жанре «прогулки») в несколько разделов современной математики. Все темы, затронутые в книге, в большей или меньшей степени связаны с теорией особенностей. Читателю, прошедшему эту прогулку вместе с автором, она поможет выбрать раздел математики, в котором он будет специализироваться, — выбор предлагается широкий.»

https://biblio.mccme.ru/node/76199

Из той же лекции Протасова: оказывается, что таких "теорем о замыкании" — "если замкнулось из одной точки, то замкнётся за то же число шагов из любой другой" — есть ещё несколько. И каждую можно доказывать с помощью правильно выбранной инвариантной меры.

А именно — кроме теоремы Понселе:
- теорема Штейнера (или теорема о телефонном диске)
- теорема о кузнечике/блохе/зигзаге

Теорема Штейнера: вписываем окружности так, чтобы они касались внутренней и внешней окружностей, и следующая касалась бы предыдущей.

(рисунок из слайдов Протасова)

Но тут можно обойтись и без инвариантной меры: инверсией сделать внешнюю и внутреннюю окружности концентрическими — а в этом случае утверждение становится очевидным.

Теорема о кузнечике: кузнечик скачет между внутренней и внешней окружностями, каждый раз прыгая на одно и то же фиксированное расстояние.

(рисунок из слайдов Протасова)

Так вот — оказывается, что все эти три теоремы (Понселе, Штейнер и кузнечик) следуют из одной, более общей — теоремы Эмха.

(и опять рисунок из слайдов лекции Протасова)

Здесь проведены целых три окружности — через точку "средней" окружности δ проводятся окружности, касающиеся внутренней и внешней окружностей α_0, α_1. А один шаг — взятие следующего пересечения с δ.

Почему из этой теоремы всё следует?

Если окружность α_1 станет большой-большой (и далеко-далеко), то окружности, которые её касаются, рядом с δ ("в конечной области") вырождаются в прямые — и вот мы получаем теорему Понселе для окружностей δ и α_0.

Если окружности α_0 и α_1 концентрические, то окружности, которые их касаются, имеют центры на третьей окружности α' и фиксированный радиус d. И вот теорема о кузнечике для δ и α' с шагом d.

Наконец, для теоремы Штейнера все точки касания лежат на одной окружности δ (ибо это так для концентрических + инвариантность относительно инверсий).

(Иллюстрация к теореме Штейнера — опять же из слайдов лекции Протасова, http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/19870/protasov_poncelet.pdf )

И — теорема Эмха тоже может быть доказана с помощью инвариантной меры.
А именно — нужно взять в качестве плотности величину
1/\sqrt{|f_0(x) f_1(x)|},
где f_j — степень точки x относительно окружности α_j

Очень похоже на обратную величину к длине касательной, то есть 1/\sqrt{f_0(x)}, которая была в теореме Понселе!

А цитата на картинке — из статьи
Universal measure for Poncelet-type theorems, E. A. Avksentyev and V. Yu. Protasov, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018); см. https://arxiv.org/pdf/1610.00276.pdf

Вот. С Новым Годом!

продолжаются Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series

в среду (13.01) в 17:00 по Москве — Don Zagier, Quantum topology and new types of modularity

The talk concerns two fundamental themes of modern 3-dimensional topology and their unexpected connection with a theme coming from number theory.

A deep insight of William Thurston in the mid-1970s is that the vast majority of complements of knots in the 3-sphere, or more generally of 3-manifolds, have a unique metric structure as hyperbolic manifolds of constant curvature -1, so that 3-dimensional topology is in some sense not really a branch of topology at all, but of differential geometry.

In a different direction, the work of Vaughan Jones and Ed Witten in the late 1980s gave rise to the field of Quantum Topology, in which new types of invariants of knot complements and 3-manifolds are introduced that have their origins in ideas coming from quantum field theory.

These two themes then became linked by Kashaev’s famous Volume Conjecture, now some 25 years old (…). About 10 years ago, I was led by numerical experiments to the discovery (…) the Volume Conjecture then became part of a bigger story saying that the new invariant has some sort of strange transformation property (…). This turned out to be only the beginning of a fascinating and multi-faceted story relating quantum invariants, q-series, modularity, and many other topics. In the talk, which is intended for a general mathematical audience, I would like to recount some parts of this story (…)

Лекция Загира начинается!