Теорема Штейнера: вписываем окружности так, чтобы они касались внутренней и внешней окружностей, и следующая касалась бы предыдущей.
Но тут можно обойтись и без инвариантной меры: инверсией сделать внешнюю и внутреннюю окружности концентрическими — а в этом случае утверждение становится очевидным.
Теорема о кузнечике: кузнечик скачет между внутренней и внешней окружностями, каждый раз прыгая на одно и то же фиксированное расстояние.
Так вот — оказывается, что все эти три теоремы (Понселе, Штейнер и кузнечик) следуют из одной, более общей — теоремы Эмха.
Здесь проведены целых три окружности — через точку "средней" окружности δ проводятся окружности, касающиеся внутренней и внешней окружностей α_0, α_1. А один шаг — взятие следующего пересечения с δ.
Почему из этой теоремы всё следует?
Если окружность α_1 станет большой-большой (и далеко-далеко), то окружности, которые её касаются, рядом с δ ("в конечной области") вырождаются в прямые — и вот мы получаем теорему Понселе для окружностей δ и α_0.
Если окружности α_0 и α_1 концентрические, то окружности, которые их касаются, имеют центры на третьей окружности α' и фиксированный радиус d. И вот теорема о кузнечике для δ и α' с шагом d.
Наконец, для теоремы Штейнера все точки касания лежат на одной окружности δ (ибо это так для концентрических + инвариантность относительно инверсий).
Если окружность α_1 станет большой-большой (и далеко-далеко), то окружности, которые её касаются, рядом с δ ("в конечной области") вырождаются в прямые — и вот мы получаем теорему Понселе для окружностей δ и α_0.
Если окружности α_0 и α_1 концентрические, то окружности, которые их касаются, имеют центры на третьей окружности α' и фиксированный радиус d. И вот теорема о кузнечике для δ и α' с шагом d.
Наконец, для теоремы Штейнера все точки касания лежат на одной окружности δ (ибо это так для концентрических + инвариантность относительно инверсий).
(Иллюстрация к теореме Штейнера — опять же из слайдов лекции Протасова, http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/19870/protasov_poncelet.pdf )
И — теорема Эмха тоже может быть доказана с помощью инвариантной меры.
А именно — нужно взять в качестве плотности величину
1/\sqrt{|f_0(x) f_1(x)|},
где f_j — степень точки x относительно окружности α_j
Очень похоже на обратную величину к длине касательной, то есть 1/\sqrt{f_0(x)}, которая была в теореме Понселе!
А цитата на картинке — из статьи
Universal measure for Poncelet-type theorems, E. A. Avksentyev and V. Yu. Protasov, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018); см. https://arxiv.org/pdf/1610.00276.pdf
А именно — нужно взять в качестве плотности величину
1/\sqrt{|f_0(x) f_1(x)|},
где f_j — степень точки x относительно окружности α_j
Очень похоже на обратную величину к длине касательной, то есть 1/\sqrt{f_0(x)}, которая была в теореме Понселе!
А цитата на картинке — из статьи
Universal measure for Poncelet-type theorems, E. A. Avksentyev and V. Yu. Protasov, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018); см. https://arxiv.org/pdf/1610.00276.pdf
Forwarded from Непрерывное математическое образование
продолжаются Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series
в среду (13.01) в 17:00 по Москве — Don Zagier, Quantum topology and new types of modularity
The talk concerns two fundamental themes of modern 3-dimensional topology and their unexpected connection with a theme coming from number theory.
A deep insight of William Thurston in the mid-1970s is that the vast majority of complements of knots in the 3-sphere, or more generally of 3-manifolds, have a unique metric structure as hyperbolic manifolds of constant curvature -1, so that 3-dimensional topology is in some sense not really a branch of topology at all, but of differential geometry.
In a different direction, the work of Vaughan Jones and Ed Witten in the late 1980s gave rise to the field of Quantum Topology, in which new types of invariants of knot complements and 3-manifolds are introduced that have their origins in ideas coming from quantum field theory.
These two themes then became linked by Kashaev’s famous Volume Conjecture, now some 25 years old (…). About 10 years ago, I was led by numerical experiments to the discovery (…) the Volume Conjecture then became part of a bigger story saying that the new invariant has some sort of strange transformation property (…). This turned out to be only the beginning of a fascinating and multi-faceted story relating quantum invariants, q-series, modularity, and many other topics. In the talk, which is intended for a general mathematical audience, I would like to recount some parts of this story (…)
в среду (13.01) в 17:00 по Москве — Don Zagier, Quantum topology and new types of modularity
The talk concerns two fundamental themes of modern 3-dimensional topology and their unexpected connection with a theme coming from number theory.
A deep insight of William Thurston in the mid-1970s is that the vast majority of complements of knots in the 3-sphere, or more generally of 3-manifolds, have a unique metric structure as hyperbolic manifolds of constant curvature -1, so that 3-dimensional topology is in some sense not really a branch of topology at all, but of differential geometry.
In a different direction, the work of Vaughan Jones and Ed Witten in the late 1980s gave rise to the field of Quantum Topology, in which new types of invariants of knot complements and 3-manifolds are introduced that have their origins in ideas coming from quantum field theory.
These two themes then became linked by Kashaev’s famous Volume Conjecture, now some 25 years old (…). About 10 years ago, I was led by numerical experiments to the discovery (…) the Volume Conjecture then became part of a bigger story saying that the new invariant has some sort of strange transformation property (…). This turned out to be only the beginning of a fascinating and multi-faceted story relating quantum invariants, q-series, modularity, and many other topics. In the talk, which is intended for a general mathematical audience, I would like to recount some parts of this story (…)
Непрерывное математическое образование
продолжаются Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series в среду (13.01) в 17:00 по Москве — Don Zagier, Quantum topology and new types of modularity The talk concerns two fundamental themes of modern 3-dimensional topology and their unexpected connection…
Лекция Загира начинается!
Несколько дней назад слушал доклад Тома Кемптона (Tom Kempton), и утащил оттуда красивую байку про числа Фибоначчи (хотя доклад был о более сложных вещах, конечно).
Давайте возьмём золотое сечение φ; оно удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1.
Посмотрим на множество чисел вида a+bφ, где a и b целые (иными словами, на кольцо Z[φ]). Поскольку φ удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1, на этом множестве действует умножение на φ:
φ(a+bφ) = b + (a+b) φ.
В частности, в координатах (a,b) это линейное преобразование. Причём то самое, которое переводит (F_{n-1},F_n) в (F_n,F_{n+1}).
(В частности, отсюда легко увидеть, что φ^n = F_{n-1} + F_n φ.)
Давайте возьмём золотое сечение φ; оно удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1.
Посмотрим на множество чисел вида a+bφ, где a и b целые (иными словами, на кольцо Z[φ]). Поскольку φ удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1, на этом множестве действует умножение на φ:
φ(a+bφ) = b + (a+b) φ.
В частности, в координатах (a,b) это линейное преобразование. Причём то самое, которое переводит (F_{n-1},F_n) в (F_n,F_{n+1}).
(В частности, отсюда легко увидеть, что φ^n = F_{n-1} + F_n φ.)
Итерируя это преобразование и применяя его к начальной точке (0,1), мы видим все числа Фибоначчи (как раз все точки (F_{n-1},F_n)); и при обычном рассказе применяют линейную алгебру, говоря, что у этого преобразования есть два сохраняемых им направления — и выбрав их в качестве новых координатных осей, мы его диагонализуем.
Так вот — можно изящно без линейной алгебры обойтись. Потому что тождество, что наше преобразование отвечает умножению на φ, оно справедливо не только для целых a и b, но и для вещественных. А потому — оно сохраняет прямую a+bφ=0. Более того, любую из семейства параллельных ей прямых a+bφ=C оно переводит в прямую a+bφ=(φC) из того же семейства, расположенную в φ раз дальше от 0.
Но это одно сохраняющееся направление, а нужно два. Откуда взять второе? А вот откуда: чтобы написать наше отображение, мы воспользовались не самим золотым сечением φ, а только уравнением на него, φ^2=φ+1. А у этого уравнения есть второй корень, φ'=-1/φ.
Поэтому если бы мы взяли Z[φ'] — мы получили бы то же самое отображение. А значит, оно сохраняет и прямую
a+b φ' = 0 – иными словами, прямую a-b/φ=0 —
переводя любую параллельную ей прямую
a+b φ' = C
в прямую из того же семейства
a+b φ' = -C/φ,
умножая C на φ'=(-1/φ).
a+b φ' = 0 – иными словами, прямую a-b/φ=0 —
переводя любую параллельную ей прямую
a+b φ' = C
в прямую из того же семейства
a+b φ' = -C/φ,
умножая C на φ'=(-1/φ).