В 1975 году появилась работа Mather и McGehee — в которой был построен пример такого странного поведения, но... для системы на прямой.
Естественный вопрос — как это на прямой?! Там же просто произойдёт столкновение и ничего интересного не будет.

Дело в том, что мы можем "вырождать" динамику в R^3: представим себе, что наши материальные точки движутся не совсем идеально по одной и той же прямой, а только очень близко к ней. И вообще, если у нас в R^3 две точки должны были столкнуться — можно чуть-чуть сдвинуть одну из них, чтобы она мимо другой промахнулась (и пролетела по гиперболе). А потом посмотреть, что происходит, когда сдвиг стремится к нулю.

Оказывается, что предел есть, и формулируется очень разумно. А именно, гипербола вырождается в пролёт туда-обратно (угол между её асимптотами стремится к развёрнутому), и в пределе мы получаем абсолютно упругое столкновению (изменение знака скоростей в момент столкновения в системе, связанной с их центром масс).

Поэтому пока в системе происходят только попарные столкновения — за них динамику можно продолжать, заменяя каждое упругим соударением. В частности — можно запускать и динамику на прямой, где получается смесь между абсолютно упругими соударениями и динамикой притягивающихся точек.

В качестве ответвления — даже если притяжения нет, а только точки движутся по прямой, получается интересная вещь: число соударений в простой конфигурации из стенки (т.е. бесконечной массы) и двух сильно разных масс оказывается связанной с числом π!

Вот статья Г. А. Гальперина об этом — https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf — и видео 3blue1brown об этой задаче: https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs

Один кадр оттуда "для завлекательности"
(Image credit: 3blue1brown, https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs )

Так вот — возвращаясь уже к динамике на прямой с учётом притяжения. Mather и McGehee построили пример, в котором система четырёх притягивающихся точек на прямой в конечный момент времени t_* "ломается" не через столкновение (а именно — три из масс разлетаются на бесконечность, предела у четвёртой нет), а во все меньшие моменты испытывала только попарные столкновения.

И ключевой момент это "почти тройное столкновение". Представим себе, что у нас сталкиваются три точки — но не одновременно (ибо это запрещено), а почти одновременно.
Представим себе, что третья точка, которая "чуть-чуть опаздывает" к столкновению, сильно легче первых двух. Тогда в момент, когда первые две разлетаются после столкновения с огромными скоростями (потому что они в этот момент очень близко), им навстречу несётся лёгкая третья. А мы уже видели такой сценарий!

Столкновение — и она получает в несколько раз большую скорость, как теннисный мячик, столкнувшийся с баскетбольным. Часть этой скорости "съест" гравитация, пока точки будут разлетаться обратно, но именно что часть. И в сухом остатке — в почти тройном столкновении третья лёгкая точка может улететь со сколь угодно большой скоростью.

И из этого уже понятно, как построить пример: берём 4 материальные точки
m1, m2, m3, m4,
в этом порядке, и пусть m3 в сравнении с остальными очень лёгкая, а в самом начале у m1, m2 и m3 будет почти тройное столкновение, из которого m3 вылетает с огромной скоростью v.

Тогда из-за закона сохранения энергии m1 и m2 остаются очень-очень близко друг к другу — откуда-то ведь нужно было взять эту энергию, а больше неоткуда. А из-за закона сохранения импульса эта "двойная система" из m1 и m2 со скоростью порядка v*m3/(m1+m2) полетит влево. В частности, они в ближайшем будущем будут испытывать много-много соударений.

В это время m3 летит к m4, после их соударения улетает обратно — и совсем чуть-чуть варьируя начальные условия, можно добиться, чтобы момент, когда m3 подлетит к m1+m2, был бы опять почти тройным столкновением (точнее, можно сначала подобрать ровно тройное столкновение, а потом сколь угодно слабо от него отступить).

Отступаем совсем чуть-чуть, точку m3 выкидывает "как из пушки" с ещё более огромной скоростью v'>>v, точки m1 и m2 летят влево ещё быстрее, чем раньше, и ещё ближе друг к другу.

Дальше m3 опять долетает (со своей сумасшедшей скоростью) до m4, отражается (заодно добавив скорости m4), летит обратно, догоняет m1+m2; ещё чуть-чуть варьируя начальные условия, можно подобрать тройное столкновение, и сколь угодно слабо от него отклониться. В результате чего m3 улетит с ещё более безумной (и сколь угодно большой) скоростью v''>>v', и так далее. И раз скорости можно наращивать сколь угодно сильно — можно попросить, чтобы каждый следующий цикл занимал хотя бы в 2 раза меньше времени, чем предыдущий, и тогда вся система "взрывается" за конечное время (привет Ахиллесу и черепахе).
Итог всех этих соударений — m1 и m2 улетели на бесконечность влево, m4 на бесконечность вправо, а у точки m3 просто нет предела (она колеблется всё сильнее и сильнее).

Это, конечно, пример вырожденный. Но раз он есть — можно предположить, что пример будет и для настоящих уравнений небесной механики в R^3. И так и есть — и в 1988-м в своей диссертации пример для системы из 5 точек построил Z. Xia (+ статья в Annals!).

Вот тут этот пример схематически изображён:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Xia%27s_5-body_configuration.png

Система симметрична относительна оси Oz, вдоль которой вверх-вниз движется третья точка; как сверху, так и снизу две "очень сильно эллиптические" двойные системы, в которых точки могут очень-очень сильно сблизиться (и тем самым приблизиться к оси Oz). А дальше (на первом уровне аккуратности) всё почти так же, как и раньше — точка m3 получает сильное ускорение от каждой из этих систем, потому что у неё происходит почти тройное столкновение. А именно, представим себе, что пара m1+m2 сближается сразу за m3, резко её притормаживая и добавляя ей скорость обратно — и разлетается. Работая этаким "ускорителем" (или "ракеткой", или "баскетбольным мячом" в примере выше). Дальше подачу принимает пара m4+m5, отправляет m3 ещё быстрее обратно, и так далее.

Тут нужно отследить, чтобы системы продолжили оставаться "высокоэллиптическими"... Но это уже совсем не тот уровень подробности, в который мне тут хочется углубляться.

Вот теперь совсем окончание про гипотезу Пенлеве.
Мы уже посмотрели, как сначала в работе Mather и McGehee была предъявлена (мотивирующая то, каким должен быть ответ) вырожденная модель из четырёх точек на прямой, которая, с одной стороны, была пределом небесной механики, а с другой — ломалась не "через столкновение", а так, что предела у траекторий в конечный момент не было — скорости стремились к бесконечности, диаметр системы стремился к бесконечности, часть точек улетала совсем, одна металась туда-сюда. Но эта система ещё была модельной — вырождением настоящей в пределе "точки летают почти по одной прямой, но промахиваются друг мимо друга на бесконечно малую величину".

А потом Z. Xia построил пример начальных условий для уже настоящей системы из пяти материальных точек, в которой решение ломалось без столкновений до последнего момента: две "ракетки"-бинарные системы перекидывают друг другу оставшуюся точку, разгоняя её всё сильнее и сильнее (и сами при этом улетают на бесконечность).

И мне в этом месте по ассоциации вспоминается "линейный магнитный ускоритель" из неодимовых магнитов и шариков (на youtube есть куча видео; вот, например).

И аналогия — причём именно с примером Xia — мне кажется, достаточно хорошая. Потому что что происходит там: точка ускоряется, "упав в потенциальную яму", а потом потенциальная яма резко становится менее глубокой (потому что бинарная система разошлась в стороны от оси), и точка вылетает на (сильно) большей скорости, чем прилетела.
А что происходит в линейном ускорителе? Стальной шарик разгоняется из-за того, что его притягивает магнит. Потом в момент удара его скорость [почти без потерь] передаётся (а-ля колыбель Ньютона) шарику по другую сторону, который дальше и потому в гораздо более мелкой потенциальной яме. Так что после "блока ускорения" шарик имеет большую скорость и энергию, чем до него (правда, шарик уже другой, но такой же).

И даже несколько ускорителей один за другим тут по делу — "ракетки"-бинарные системы же перекидываются мячиком-оставшейся материальной точкой, добавляя ей ещё и ещё скорости и энергии.

Итого — для трёх точечных масс Пенлеве доказал, что уравнение может ломаться только через столкновение точек, для пяти и больше есть пример; оставался собственно случай четырёх тел в без столкновений, как на прямой) варианте.
Оказалось, что для четырёх тел тоже есть пример "разгоняющейся и разлетающейся" системы.

Его построил Jinxin Xue — вот тут их совместная статья с Д. Долгопятом про упрощённую модель, а вот его статья (+препринт 2014 года) с полной конструкцией. И тут потребовалось чуть больше "планетарной хореографии".

Эту конструкцию можно описать как "два Юпитера (Ю1 и Ю2), два астероида (А1 и А2)" — два очень тяжёлых тела, а два очень лёгких (равной массы). В упрощённом варианте тяжёлые тела в пространстве вообще неподвижны — а лёгкие летают между ними туда-сюда.

В любой момент времени один из астероидов обращается вокруг Юпитера Ю2 (по очень низкой орбите, и потому очень быстро), а второй тоже очень быстро летит к Ю1 и обратно (пролетая к нему "почти вплотную"). Когда астероид возвращается, он встречается с тем, который в этот момент обращается вокруг Ю2, пролетая почти вплотную — и они оба (почти как при абсолютно упругом столкновении) меняют свои орбиты.

Вот рисунок из статьи J. Xue, D. Dolgopyat в CMP: тут видно, как происходит прилёт, смена орбит "почти столкновением" и вылет следующего астероида.

(Image credit: Jinxin Xue & Dmitry Dolgopyat, Non-Collision Singularities in the Planar Two-Center-Two-Body Problem, Communications in Mathematical Physics, 345 (2016), pages 797-879)

Честно говоря, при взгляде на эту конструкцию мне вспоминается сцена из "Карамболя" в Пин-коде "Смешариков": "Ну кто так бьёт?!".
Потому что и впрямь, очень-очень близкие пролёты, это же почти что абсолютно упругие столкновения! 🙂

Кстати (на скриншоте теорема из их же работы) — на каждом шаге можно выбрать, какой из двух астероидов вылетает к Ю1. Поэтому "взрывающихся" решений получается (как минимум) целое канторово множество: столько есть последовательностей из А1 и А2, говорящих, на каком шаге какой астероид летит к Ю1.

В упрощённой модели Юпитеры были "прибиты гвоздями" и не могли двигаться — но почти сразу Xue сделал и совсем честный случай из 4 тел: вот его препринт (первая версия 2014 года), а вот статья в Acta Mathematica, вышедшая в 2020-м. Совсем наши дни!

И на этом я завершаю рассказ про гипотезу Пенлеве.

Да, ещё последняя ссылка про гипотезу Пенлеве: есть хороший популярный текст 1995 года (то есть ещё до конструкции примера с четырьмя точками) — "Off to Infinity in Finite Time" в AMS Notices: https://www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf

А мой следующий большой рассказ будет про степени отображений и теорему Штурма. Но сначала — несколько картинок.

Во-первых — есть формула для суммы синусов или косинусов от арифметической прогрессии,
sin(a)+sin(a+d)+...+sin(a+n*d)
или
cos(a)+cos(a+d)+...+cos(a+n*d).
Школьными методами проще всего умножить на sin(d/2), после чего каждое произведение разваливается в разность косинусов/синусов, и получается телескопическая сумма, в которой почти всё сокращается.
Можно сказать, что обе эти суммы это мнимая и вещественная части суммы геометрической прогрессии
e^{ia} + e^{i(a+d)} + ... + e^{i(a+n*d)}
со знаменателем e^{id}, и применить формулу для такой суммы.
Получится (если дополнительно поделить числитель и знаменатель на e^{i d/2)} ) выражение

и вот в знаменателе 2i sin (d/2) и появляется.

Но Полина Вытнова показала мне совершенно классную картинку (отсюда):