Вот теперь совсем окончание про гипотезу Пенлеве.
Мы уже посмотрели, как сначала в работе Mather и McGehee была предъявлена (мотивирующая то, каким должен быть ответ) вырожденная модель из четырёх точек на прямой, которая, с одной стороны, была пределом небесной механики, а с другой — ломалась не "через столкновение", а так, что предела у траекторий в конечный момент не было — скорости стремились к бесконечности, диаметр системы стремился к бесконечности, часть точек улетала совсем, одна металась туда-сюда. Но эта система ещё была модельной — вырождением настоящей в пределе "точки летают почти по одной прямой, но промахиваются друг мимо друга на бесконечно малую величину".

А потом Z. Xia построил пример начальных условий для уже настоящей системы из пяти материальных точек, в которой решение ломалось без столкновений до последнего момента: две "ракетки"-бинарные системы перекидывают друг другу оставшуюся точку, разгоняя её всё сильнее и сильнее (и сами при этом улетают на бесконечность).

И мне в этом месте по ассоциации вспоминается "линейный магнитный ускоритель" из неодимовых магнитов и шариков (на youtube есть куча видео; вот, например).

И аналогия — причём именно с примером Xia — мне кажется, достаточно хорошая. Потому что что происходит там: точка ускоряется, "упав в потенциальную яму", а потом потенциальная яма резко становится менее глубокой (потому что бинарная система разошлась в стороны от оси), и точка вылетает на (сильно) большей скорости, чем прилетела.
А что происходит в линейном ускорителе? Стальной шарик разгоняется из-за того, что его притягивает магнит. Потом в момент удара его скорость [почти без потерь] передаётся (а-ля колыбель Ньютона) шарику по другую сторону, который дальше и потому в гораздо более мелкой потенциальной яме. Так что после "блока ускорения" шарик имеет большую скорость и энергию, чем до него (правда, шарик уже другой, но такой же).

И даже несколько ускорителей один за другим тут по делу — "ракетки"-бинарные системы же перекидываются мячиком-оставшейся материальной точкой, добавляя ей ещё и ещё скорости и энергии.

Итого — для трёх точечных масс Пенлеве доказал, что уравнение может ломаться только через столкновение точек, для пяти и больше есть пример; оставался собственно случай четырёх тел в без столкновений, как на прямой) варианте.
Оказалось, что для четырёх тел тоже есть пример "разгоняющейся и разлетающейся" системы.

Его построил Jinxin Xue — вот тут их совместная статья с Д. Долгопятом про упрощённую модель, а вот его статья (+препринт 2014 года) с полной конструкцией. И тут потребовалось чуть больше "планетарной хореографии".

Эту конструкцию можно описать как "два Юпитера (Ю1 и Ю2), два астероида (А1 и А2)" — два очень тяжёлых тела, а два очень лёгких (равной массы). В упрощённом варианте тяжёлые тела в пространстве вообще неподвижны — а лёгкие летают между ними туда-сюда.

В любой момент времени один из астероидов обращается вокруг Юпитера Ю2 (по очень низкой орбите, и потому очень быстро), а второй тоже очень быстро летит к Ю1 и обратно (пролетая к нему "почти вплотную"). Когда астероид возвращается, он встречается с тем, который в этот момент обращается вокруг Ю2, пролетая почти вплотную — и они оба (почти как при абсолютно упругом столкновении) меняют свои орбиты.

Вот рисунок из статьи J. Xue, D. Dolgopyat в CMP: тут видно, как происходит прилёт, смена орбит "почти столкновением" и вылет следующего астероида.

(Image credit: Jinxin Xue & Dmitry Dolgopyat, Non-Collision Singularities in the Planar Two-Center-Two-Body Problem, Communications in Mathematical Physics, 345 (2016), pages 797-879)

Честно говоря, при взгляде на эту конструкцию мне вспоминается сцена из "Карамболя" в Пин-коде "Смешариков": "Ну кто так бьёт?!".
Потому что и впрямь, очень-очень близкие пролёты, это же почти что абсолютно упругие столкновения! 🙂

Кстати (на скриншоте теорема из их же работы) — на каждом шаге можно выбрать, какой из двух астероидов вылетает к Ю1. Поэтому "взрывающихся" решений получается (как минимум) целое канторово множество: столько есть последовательностей из А1 и А2, говорящих, на каком шаге какой астероид летит к Ю1.

В упрощённой модели Юпитеры были "прибиты гвоздями" и не могли двигаться — но почти сразу Xue сделал и совсем честный случай из 4 тел: вот его препринт (первая версия 2014 года), а вот статья в Acta Mathematica, вышедшая в 2020-м. Совсем наши дни!

И на этом я завершаю рассказ про гипотезу Пенлеве.

Да, ещё последняя ссылка про гипотезу Пенлеве: есть хороший популярный текст 1995 года (то есть ещё до конструкции примера с четырьмя точками) — "Off to Infinity in Finite Time" в AMS Notices: https://www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf

А мой следующий большой рассказ будет про степени отображений и теорему Штурма. Но сначала — несколько картинок.

Во-первых — есть формула для суммы синусов или косинусов от арифметической прогрессии,
sin(a)+sin(a+d)+...+sin(a+n*d)
или
cos(a)+cos(a+d)+...+cos(a+n*d).
Школьными методами проще всего умножить на sin(d/2), после чего каждое произведение разваливается в разность косинусов/синусов, и получается телескопическая сумма, в которой почти всё сокращается.
Можно сказать, что обе эти суммы это мнимая и вещественная части суммы геометрической прогрессии
e^{ia} + e^{i(a+d)} + ... + e^{i(a+n*d)}
со знаменателем e^{id}, и применить формулу для такой суммы.
Получится (если дополнительно поделить числитель и знаменатель на e^{i d/2)} ) выражение

и вот в знаменателе 2i sin (d/2) и появляется.

Но Полина Вытнова показала мне совершенно классную картинку (отсюда):

Image credit: https://math.stackexchange.com/a/1607308 + https://trigonography.com/2016/01/10/trig-sums-with-angles-in-arithmetic-progression/

Мне кажется, картинка прекрасна — никакого другого текста, кроме уже имеющегося, не надо!

Второе — в этом канале уже появлялись несколько картинок М. Панова; вот тут коллеги выложили его анимации про параболу/эллипс/гиперболы как огибающие. Так вот, вот здесь с его картинками более развёрнутая презентация с текстом — мне кажется, совершенно потрясающая; я очень советую её пролистать (благо, что это быстро, а рассказ там очень простой и понятный — но не перестающий от этого быть очень красивым!).

Ну и я напомню, что эллипс/гипербола/парабола как огибающие (серединных) перпендикуляров возникают и в небесной механике!

https://youtu.be/1LwkljjLBns
https://youtu.be/cp6eudDomRY
https://youtu.be/r_KqR5tBekQ

«««
Soon after winning the Fields Medal in 1962, a young John Milnor gave these now-famous lectures and wrote his timeless Topology from the Differentiable Viewpoint, which has influenced generations of mathematicians. The lectures, filmed by the Mathematical Association of America (MAA), were unavailable for years but recently resurfaced. With Simons Foundation funding, the Mathematical Sciences Research Institute has produced these digital reproductions as a resource for the mathematics and science communities.

(…)

Lectures by John Milnor, Princeton University, Fall term 1958
Notes by James Munkres — https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/difftop.pdf
»»»

http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600804p.pdf

«The sequel to these lectures, written several mathematical lives — and a Wolf and an Abel Prize later — is “Differential Topology Forty-six Years Later”»

Пара кадров из первой лекции. Вообще, очень интересно смотреть и слушать (в том числе — пойманный "дух эпохи").

Давайте я начну обещанный рассказ про степени отображений и про теорему Штурма.

Вот допустим, нам задан какой-нибудь многочлен. С явными — целыми или рациональными — коэффициентами, но не второй-третьей-ну допустим, четвёртой степени, а выше, так что никакой формулы для корней нет. Как можно узнать, сколько у него вещественных корней? Или — сколько у него корней на конкретном отрезке [a,b]?

Собственно, вот конкретный пример: рассмотрим многочлен
P(x) = 2 x^5 - 5 x^4 - 4 x^3 + 22 x^2 - 21 x + 6.
Сколько у него вещественных корней?

Так сразу не скажешь. Даже если построить график — точнее, попросить компьютер это сделать — тоже ответ не то, чтобы сразу очевиден: