Два прообраза поменяются местами — что, собственно, показывает проблему с квадратным корнем в комплексных числах. Есть, но если просить его на всей комплексной плоскости и пытаться делать непрерывным — то он получается многозначным.

Монодромия при обходе вокруг особой точки c: подошли, обошли вокруг, вернулись. По любому пути мы бы получили какую-то перестановку значений (с графика мы всё равно никуда не делись); по такому — меняем два значения местами (B и C), те самые, которые сливаются при подходе к c. Ибо остальные (A) там проблем не чувствуют, а у B и C поведение такое же, как на предыдущем рисунке.

Теорема Ньютона: нет на плоскости такой "хорошей" (бесконечно гладкой и алгебраической) выпуклой кривой, чтобы отрезаемая от неё секущей прямой площадь была бы алгебраической функцией от коэффициентов уравнения прямой.

Начальный ход доказательства — смотрим вообще только на секущие одного направления (развернув систему координат — на {x=c}). Только направления такого, чтобы касания в крайних точках были бы квадратичными, а не более высокого порядка (теоретически, например, там могло бы быть уплощение как для x=y^4).

Что будет с отсекаемой площадью как функцией от c, если выйти в комплексную область и обежать вокруг минимума m?

Точки B и C поменяются местами — поэтому граница отсекаемой области изменит ориентацию (отрезок "от B к C" поменялся на противоположный), и вся площадь изменит знак.

Но можно обходить не только вокруг минимума m, но и вокруг максимума M.
При подходе к M на площадь можно смотреть как на константу (площадь всего овала!) минус площадь "белой" луночки. А площадь белой луночки при обходе вокруг M меняет знак. Значит, после обхода будет площадь всего овала плюс площадь луночки у M.
Но дальше — уже обойдя M — можно пойти к минимуму m. Где мы посмотрим на результат до обхода как на 2x(площадь всего овала) минус площадь луночки у m. После обхода m — минус меняется на плюс, и мы получили 2x(площадь всего овала)+луночку у m.

То есть, обойдя сначала вокруг M, потом вокруг m, мы к исходному отсекаемому объёму V(c) прибавили константу: удвоенную полную площадь всего овала (2V_0).
Тогда, если сделать такой парный обход ещё раз, то мы добавим ещё столько же, те же 2V_0; например, потому, что продолжение 2V_0 + V(c) это всё равно, что константа 2V_0 плюс продолжение V(c).
Сделав парный обход ещё раз — добавим ещё столько же, и продолжать так можно неограниченно.
Но это как раз противоречит алгебраичности отсекаемой площади V(c) — если бы она была алгебраической, то любому c можно было бы сопоставить лишь конечное число значений — корней полинома P(c,V)=0, который задаёт "график" V(c). А у нас этих значений счётное число (потому что "парных обходов" можно сделать сколько угодно) — вот и получилось противоречение, которое доказывает теорему Ньютона.

Для невыпуклых областей на плоскости (опять-таки, с алгебраической бесконечно гладкой границей) проходит аналогичное рассуждение — только крутиться приходится больше.

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

И дальше уже без проблем можно дойти до m=p_1, после чего, обойдя, пуститься в обратный путь...

А это объяснение того, почему в невыпуклом случае, начав движение из лунки рядом с минимумом на одной стороне, всегда получится прийти в лунку рядом с максимумом. А именно — самое важное в отрезаемой площади это отрезок, на который она опирается. Ну а если нарисовать множество возможных пар "первая точка, вторая точка", то это будет много замкнутых кривых + ровно одна кривая с двумя концами. Один из которых отвечает лунке над минимумом m, а другой — лунке над максимумом M. Просто потому, что нигде больше такая кривая не обрывается —

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Ну и последняя пара картинок — иллюстрации к теореме Пикара-Лефшеца, здесь — в простейшем случае. Пусть мы смотрим на множество P(z,w)=c, где z и w — комплексные; соответственно, это с вещественной точки зрения двумерная поверхность.
Если мы двигаем c, не заходя в критические значения P — то поверхность двигается "по чуть-чуть". А что будет, если мы захотим "обойти" вокруг критического значения? Например, если на поверхности нарисована замкнутая кривая, и она заходит в окрестность соответствующей критической точки — логично ожидать, что она как-то перестроится. А как?

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Ответ такой. Для простоты будем считать, что критическое значение это c=0. С комплексной точки зрения все невырожденные критические точки одинаковые (с точностью до локальной замены координат) — так выберем локальные координаты (z',w') так, чтобы в них.
P(z',w')=z'w'.
Тогда при малых c рядом с критическим значением поверхность уровня устроена как цилиндр. Так вот — этот цилиндр скручивается:

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Потому что если c бежит по окружности радиуса ε,
c(t) = ε e^{it},
то мы хотим как-то двигать z и w так, чтобы далеко от критической точки (то есть если либо |z|, либо |w| большие) за полный оборот вообще ничего не произошло.
Ну так давайте двигать окружности вида |z|=r с постоянной скоростью, деля множитель e^{it} в каком-то отношении между z и w:
z(t)=z(0) e^{i f(r) t}
w(t)=w(0) e^{i (1-f(r)) t}