Экслюзив: Письмо Рохлина Гудкову о том, что он доказал его гипотезу.

"Без сомнения, это доказательство лучше выражает топологическую суть дела, чем первое. Оно не было найдено сразу просто потому, что общая топологическая теорема, на которой оно основано [т.е. сравнение κ(F)−σ(X) ≡ 2τ(F)mod 8] не была известна. Вероятно, я скоро напишу это доказательство подробно. Конечно, я пришлю его Вам. Не знаю, сможете ли Вы ещё учесть его в Вашем обзоре.

Напишите, пожалуйста, нет ли аналогичных гипотез, относящихся к другим ситуациям, например, к кри- вым нечётной степени, к поверхностям или к неплоским кривым." 21.03.1972.

Подробнее.

Эйлеровой характеристикой многогранника называется число χ=В−Р+Г, где В, Р и Г — количества его вершин, ребер и граней соответственно. Оказывается, эйлерова характеристика зависит лишь от числа «дырок» в многограннике, например для многогранников без дырок (или как говорят математики, односвязных многогранников) эйлерова характеристика равна 2. То есть для куба, тетраэдра, октаэдра и любого другого многогранника без дыр χ=2. А для многогранника с g дырами χ=2−2g. Используя эйлерову характеристику, можно доказать несуществование некоторых многогранников. Например, не существует многогранника без дыр или с одной дыркой, у которого все грани — шестиугольники, попробуйте это проверить самостоятельно. Но если убрать условие на число дырок, то такие многогранники уже можно найти. Гораздо сложнее найти такой многогранник, все грани которого — выпуклые шестиугольники. На сегодняшней картинке изображён один такой многогранник. Попробуйте вычислить число его дырок :)
#рисункиМихаилаПанова
#которисунки
#MetaPost

https://knife.media/viktor-vasilyev/

к 65-летию Виктора Анатольевича Васильева — его недавнее интервью

А ещё — давайте я вспомню "Геометрию дискриминанта" и "Ветвящиеся объёмы и группы отражений" (этот курс Васильев читал в ЛШСМ два года — в 2013 и в 2014 годах — после первого раза решив одну из открытых проблем в этой области, так что на следующий год он уже рассказывал её решение. А недавно из этих курсов получилась, как мне кажется, замечательная книга для матшкольников и студентов — куда и это решение тоже вошло!).

Давайте я выложу несколько картинок из "Ветвящихся объёмов", которые правда очень люблю:

Алгебраическая функция = её график = полиномиальное соотношение "F(x,z)=0" вместо обычного "z=f(x)".

Начало разговора о монодромии: чуть-чуть двигаем аргумент c — и соответственно сдвигаются разные возможные значения многозначной функции V(c)

А что происходит в точке, где у графика вертикальная касательная, и два прообраза сливаются (как в точке c_3 на предыдущем рисунке)? Простейший случай — функция "квадратный корень", или x-z^2=0. В саму точку заходить не будем — зато выйдем в комплексные числа, и обойдём вокруг.

Два прообраза поменяются местами — что, собственно, показывает проблему с квадратным корнем в комплексных числах. Есть, но если просить его на всей комплексной плоскости и пытаться делать непрерывным — то он получается многозначным.

Монодромия при обходе вокруг особой точки c: подошли, обошли вокруг, вернулись. По любому пути мы бы получили какую-то перестановку значений (с графика мы всё равно никуда не делись); по такому — меняем два значения местами (B и C), те самые, которые сливаются при подходе к c. Ибо остальные (A) там проблем не чувствуют, а у B и C поведение такое же, как на предыдущем рисунке.

Теорема Ньютона: нет на плоскости такой "хорошей" (бесконечно гладкой и алгебраической) выпуклой кривой, чтобы отрезаемая от неё секущей прямой площадь была бы алгебраической функцией от коэффициентов уравнения прямой.

Начальный ход доказательства — смотрим вообще только на секущие одного направления (развернув систему координат — на {x=c}). Только направления такого, чтобы касания в крайних точках были бы квадратичными, а не более высокого порядка (теоретически, например, там могло бы быть уплощение как для x=y^4).

Что будет с отсекаемой площадью как функцией от c, если выйти в комплексную область и обежать вокруг минимума m?

Точки B и C поменяются местами — поэтому граница отсекаемой области изменит ориентацию (отрезок "от B к C" поменялся на противоположный), и вся площадь изменит знак.

Но можно обходить не только вокруг минимума m, но и вокруг максимума M.
При подходе к M на площадь можно смотреть как на константу (площадь всего овала!) минус площадь "белой" луночки. А площадь белой луночки при обходе вокруг M меняет знак. Значит, после обхода будет площадь всего овала плюс площадь луночки у M.
Но дальше — уже обойдя M — можно пойти к минимуму m. Где мы посмотрим на результат до обхода как на 2x(площадь всего овала) минус площадь луночки у m. После обхода m — минус меняется на плюс, и мы получили 2x(площадь всего овала)+луночку у m.

То есть, обойдя сначала вокруг M, потом вокруг m, мы к исходному отсекаемому объёму V(c) прибавили константу: удвоенную полную площадь всего овала (2V_0).
Тогда, если сделать такой парный обход ещё раз, то мы добавим ещё столько же, те же 2V_0; например, потому, что продолжение 2V_0 + V(c) это всё равно, что константа 2V_0 плюс продолжение V(c).
Сделав парный обход ещё раз — добавим ещё столько же, и продолжать так можно неограниченно.
Но это как раз противоречит алгебраичности отсекаемой площади V(c) — если бы она была алгебраической, то любому c можно было бы сопоставить лишь конечное число значений — корней полинома P(c,V)=0, который задаёт "график" V(c). А у нас этих значений счётное число (потому что "парных обходов" можно сделать сколько угодно) — вот и получилось противоречение, которое доказывает теорему Ньютона.

Для невыпуклых областей на плоскости (опять-таки, с алгебраической бесконечно гладкой границей) проходит аналогичное рассуждение — только крутиться приходится больше.

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)