И очень естественная идея — если нужно доказывать, что два множества одной мощности, то можно попробовать между ними построить биекцию (а если множества отличаются на 1 по мощности — то какой-то элемент из области определения выпустить).

Именно так это доказательство и проводится — а именно, на множестве разбиений n на различные слагаемые строится инволюция (отображение, в квадрате равное тождественному), гарантированно меняющая чётность числа слагаемых. И иногда (как раз для тех самых n) определённая не на всех разбиениях, а на всех, кроме одного.

И инволюция эта очень простая. Давайте возьмём какое-нибудь разбиение n в сумму различных слагаемых и отметим на его диаграмме Юнга как самое маленькое слагаемое, так и "последнюю диагональ":

После чего, если самое маленькое слагаемое не превосходит этой диагонали — отрежем его и перенесём к диагонали, по одной клетке сверху. Скажем, из такого разбиения —

получится вот такое:

И обратно — если диагональ строго меньше наименьшего слагаемого, то отрежем её и перенесём эти клетки вниз, в качестве нового наименьшего слагаемого.

Собственно — вот скриншот из лекции Е. Ю. Смирнова из его курса по перечислительной комбинаторике на Coursera (Image credit: Coursera + HSE + E. Smirnov)

И вот так эта биекция и работает — за исключением тех случаев, когда диагональ доходит аж до самого наименьшего слагаемого, причём или равна ему по длине, или на 1 меньше: тогда её отрезать и убрать вниз не получится.

А это и есть числа в правой части пентагональной теоремы: это же и есть почти совсем правильные пятиугольники, только нарисованные на квадратной решётке, так что получается квадрат + треугольник.

Или так —

И видно, почему между парами чисел действительно расстояния совпадают с номером пары. Давайте я покажу ещё один кадр из того же видео Mathologer-а:

Image credit: Mathologer, "The hardest "What comes next?" (Euler's pentagonal formula)".

Коллеги напоминают про обзор Игоря Пака, «Partition bijections, а Survey» — и я присоединяюсь к рекомендации (это и вообще очень интересный обзор, и там есть эта биекция).

I. Pak, «Partition bijections, а Survey»

И иллюстрирующая это картинка оттуда же —

Да, пентагональная теорема сама по себе там тоже, конечно, есть.

Да, я не сказал — эта инволюция именная, и называется инволюцией Франклина. Вот тут — в Comptes Rendus — в 1881 году она опубликована; а вот 80-страничная статья J. J. Sylvester and F. Franklin, American Journal of Mathematics, 1882, Vol. 5, No. 1 (1882), pp. 251-330 с отдельно замечательным названием: