Математические байки
Photo
Но это мы пентагональную теорему вывели из тройного произведения. А как его доказывать?
Сначала — давайте его переформулируем эквивалентным образом: произведение (1-q^k), третья скобка, это обратный ряд к производящей функции для числа разбиений p(n). Соответственно — если мы это произведение перенесём в правую часть — как раз получится производящая функция для p(n):
Сначала — давайте его переформулируем эквивалентным образом: произведение (1-q^k), третья скобка, это обратный ряд к производящей функции для числа разбиений p(n). Соответственно — если мы это произведение перенесём в правую часть — как раз получится производящая функция для p(n):
Математические байки
А вот кадр из его же курса лекций в НМУ. Мы теперь узнаём почти всё, что написано на доске (а это всегда очень приятно!).
И вот в этом виде мы его и будем доказывать. Кстати — если обозначить левую часть через A(x,q), так это определение это в точности формула наверху центральной доски на фото выше.
Да — прежде, чем мы перейдём к доказательству, давайте я скажу пару слов о способах рисовать диаграмму Юнга. Мы уже прямо в этом рассказе видели, что строчки из квадратиков, соответствующие убывающим слагаемым, можно рисовать одну под другой (см.), а можно ставить одну на другую снизу вверх (см.). Первый способ называется английским, второй французским.
Естественно, не могло обойтись без юмора. На скриншоте — сноска на странице 2 книги Ian G. Macdonald-а "Symmetric Functions and Hall Polynomials":
"Some authors (especially Francophones) prefer the convention of coordinate geometry (in which the first coordinate increases from left to right and the second coordinate from bottom to top) and define the diagram of λ to be the set of (i,j) \in Z^2 such that 1 \le i \le λ_j. Readers who prefer this convention should read this book upside down in a mirror."
"Some authors (especially Francophones) prefer the convention of coordinate geometry (in which the first coordinate increases from left to right and the second coordinate from bottom to top) and define the diagram of λ to be the set of (i,j) \in Z^2 such that 1 \le i \le λ_j. Readers who prefer this convention should read this book upside down in a mirror."
Третий способ рисовать диаграммы Юнга называется русским: это французский способ, повёрнутый на 45 градусов в положительном направлении и растянутый в корень из 2 раз — так, что диаграмма оказывается состоящей из квадратов с вершинами с целыми координатами, а каждый отрезок её внешней границы имеет наклон плюс или минус 1.
На скриншоте — иллюстрация из статьи Дэна Ромика (Dan Romik) и Петра Сняды (Piotr Sniady), Jeu de taquin dynamics on infinite Young tableaux and second class particles, Ann. Probab. 43:2 (2015), pp. 682-737.
На скриншоте — иллюстрация из статьи Дэна Ромика (Dan Romik) и Петра Сняды (Piotr Sniady), Jeu de taquin dynamics on infinite Young tableaux and second class particles, Ann. Probab. 43:2 (2015), pp. 682-737.
Математические байки
Третий способ рисовать диаграммы Юнга называется русским: это французский способ, повёрнутый на 45 градусов в положительном направлении и растянутый в корень из 2 раз — так, что диаграмма оказывается состоящей из квадратов с вершинами с целыми координатами…
Этот способ, хоть сначала и кажется странным (зачем на 45 градусов поворачивать, рисовать же неудобно!), оказывается очень полезным. А именно — можно продолжить внешнюю границу диаграммы графиком y=|x| (как на рисунке у Ромика-Сняды и сделано). И получить график непрерывной кусочно-линейной функции на всей прямой.
А этот график можно задавать плюсами и минусами — в зависимости от того, её наклон на очередном отрезке [n,n+1] равен +1 или -1. Или — поместить по чёрному камушку в середину каждого отрезка графика, идущего с коэффициентом наклона -1, и по белому — с коэффициентом наклона +1, а потом спроецировать эту конфигурацию на ось абсцисс и получить расстановку чёрных и белых камушков на прямой.
Можно, кстати, белые камушки не ставить, а считать, что во всех полуцелых точках прямой выкопаны лунки — только некоторые из них заняты камнями, а некоторые нет.
А этот график можно задавать плюсами и минусами — в зависимости от того, её наклон на очередном отрезке [n,n+1] равен +1 или -1. Или — поместить по чёрному камушку в середину каждого отрезка графика, идущего с коэффициентом наклона -1, и по белому — с коэффициентом наклона +1, а потом спроецировать эту конфигурацию на ось абсцисс и получить расстановку чёрных и белых камушков на прямой.
Можно, кстати, белые камушки не ставить, а считать, что во всех полуцелых точках прямой выкопаны лунки — только некоторые из них заняты камнями, а некоторые нет.
Да, для того, чтобы мы восстановили диаграмму, "вписанную" в график y=|x|, нужно, чтобы:
*) в минус бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы заняты;
*) в плюс бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы свободны;
*) число свободных лунок левее нуля совпадало бы с числом занятых лунок правее нуля.
Если последнее не выполнено, то при попытке восстановить мы получим диаграмму, у которой смещено "начало" — вписанную в какой-то другой угол y=|x-k|, где k целое (это разность занятых левее нуля и свободных правее нуля).
Получающаяся расстановка называется диаграммой майя для данной диаграммы Юнга; её замечательное свойство в том, что добавление одной клетки к диаграмме Юнга это в точности перемещение одного камня на один шаг вперёд.
Вот один такой пример (рисунок из препринта A. Gordenko, Limit shapes of large skew Young tableaux and a modification of the TASEP process).
*) в минус бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы заняты;
*) в плюс бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы свободны;
*) число свободных лунок левее нуля совпадало бы с числом занятых лунок правее нуля.
Если последнее не выполнено, то при попытке восстановить мы получим диаграмму, у которой смещено "начало" — вписанную в какой-то другой угол y=|x-k|, где k целое (это разность занятых левее нуля и свободных правее нуля).
Получающаяся расстановка называется диаграммой майя для данной диаграммы Юнга; её замечательное свойство в том, что добавление одной клетки к диаграмме Юнга это в точности перемещение одного камня на один шаг вперёд.
Вот один такой пример (рисунок из препринта A. Gordenko, Limit shapes of large skew Young tableaux and a modification of the TASEP process).
===
Давайте я сделаю небольшую паузу — хотя история про пентагональную теорему не закончена! — и поделюсь замечательным видео, которое выложили организаторы ICM-2022 как анонс их конкурса.
Группа SL(2,Z) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями — матрица (a, b \\ c, d) действует преобразованием
z-> (az+b)/(cz+d);
при этом минус тождественная матрица действует тоже тождественно, поэтому на самом деле действует группа
PSL(2,Z)=SL(2,Z)/{Id, -Id}.
Фактор верхней полуплоскости по её действию это модулярная кривая, на которой есть две конические особенности (i и e^{πi/3}, "отвечающие" квадратной и треугольной решёткам, если думать об этом действии в терминах решёток на плоскости) и один касп = "проколотая точка", отвечающий направлению "вверх на бесконечность" (или, что то же самое, вырождению решётки).
У этого действия есть стандартная фундаментальная область (склейкой границ которой модулярная кривая и получается) — вот так она выглядит в верхней полуплоскости.
Давайте я сделаю небольшую паузу — хотя история про пентагональную теорему не закончена! — и поделюсь замечательным видео, которое выложили организаторы ICM-2022 как анонс их конкурса.
Группа SL(2,Z) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями — матрица (a, b \\ c, d) действует преобразованием
z-> (az+b)/(cz+d);
при этом минус тождественная матрица действует тоже тождественно, поэтому на самом деле действует группа
PSL(2,Z)=SL(2,Z)/{Id, -Id}.
Фактор верхней полуплоскости по её действию это модулярная кривая, на которой есть две конические особенности (i и e^{πi/3}, "отвечающие" квадратной и треугольной решёткам, если думать об этом действии в терминах решёток на плоскости) и один касп = "проколотая точка", отвечающий направлению "вверх на бесконечность" (или, что то же самое, вырождению решётки).
У этого действия есть стандартная фундаментальная область (склейкой границ которой модулярная кривая и получается) — вот так она выглядит в верхней полуплоскости.
YouTube
"Surprising Math" ICM 2022 user video contest
The ICM 2022 YouTube channel announces a user video contest. Let mathematics enthusiast worldwide be surprised by your insights and creativity, and win prizes, including a grant to attend the ICM! Visit https://icm2022.org/blog/surprising-math for details…
Но верхняя полуплоскость переводится в единичный диск дробно-линейным преобразованием
z -> (z-i)/(z+i)
(переводящим вещественную прямую в единичную окружность), так что PSL(2,Z) действует и на единичном диске, и можно рисовать фундаментальную область и там. И вот она, на первых кадрах ролика. (Кстати, дуга единичной окружности при таком преобразовании действительно переходит в вертикальный отрезок!)
(Image credit: ICM 2022)
z -> (z-i)/(z+i)
(переводящим вещественную прямую в единичную окружность), так что PSL(2,Z) действует и на единичном диске, и можно рисовать фундаментальную область и там. И вот она, на первых кадрах ролика. (Кстати, дуга единичной окружности при таком преобразовании действительно переходит в вертикальный отрезок!)
(Image credit: ICM 2022)
Рассмотрим теперь подгруппу Г(5), состоящую из матриц, сравнимых с плюс или минус тождественной по модулю 5. Иными словами — ядро (сюръективного) отображения "приведения по модулю 5"
PSL(2,Z) -> PSL(2, Z/5Z).
Эта подгруппа имеет индекс, равный порядку PSL(2,Z/5Z); каковой, в свою очередь, равен
(5^2-1)*5/2=24*5/2 = 12*5=60:
если мы строим матрицу из SL(2,Z/5Z), то первый столбец может быть любым ненулевым вектором из (Z/5Z)^2, поэтому там 24 варианта, а у второго всегда ровно 5, чтобы определитель был единичным. Ну и пополам, потому что факторизуем по плюс-минус единице.
Объединив соответствующие образы фундаментальной области (по одному на класс смежности), можно получить фундаментальную область для действия Г(5).
PSL(2,Z) -> PSL(2, Z/5Z).
Эта подгруппа имеет индекс, равный порядку PSL(2,Z/5Z); каковой, в свою очередь, равен
(5^2-1)*5/2=24*5/2 = 12*5=60:
если мы строим матрицу из SL(2,Z/5Z), то первый столбец может быть любым ненулевым вектором из (Z/5Z)^2, поэтому там 24 варианта, а у второго всегда ровно 5, чтобы определитель был единичным. Ну и пополам, потому что факторизуем по плюс-минус единице.
Объединив соответствующие образы фундаментальной области (по одному на класс смежности), можно получить фундаментальную область для действия Г(5).
Если фактор полуплоскости по действию PSL(2,Z) был сферой с одним каспом (и двумя коническими особенностями) — то фактор по действию Г(5) оказывается сферой с 12 каспами.
Раньше, при факторизации по PSL(2,Z), у нас была точка "на бесконечности i∞", с координатой q=exp(2πi z) в её окрестности (сдвиг z на 1 значения q не меняет, чем больше мнимая часть z, тем меньше модуль q, но нулём он никогда не будет — так что там фактор устроен, как проколотая окрестность нуля).
Теперь в группе Г(5) нет отображения z->z+1, зато есть отображение z->z+5. Поэтому в один из таких каспов собирается идущая "на i∞" полоса шириной 5 (с помощью отображения z-> q=exp(2πi z/5) ).
А жорданова клетка
(1 1)
(0 1),
соответствующая преобразованию z->z+1, этот касп оставляет на месте, поворачивая q на (1/5) оборота — и порождённая ей подгруппа порядка 5 это и есть стабилизатор этого каспа.
Раньше, при факторизации по PSL(2,Z), у нас была точка "на бесконечности i∞", с координатой q=exp(2πi z) в её окрестности (сдвиг z на 1 значения q не меняет, чем больше мнимая часть z, тем меньше модуль q, но нулём он никогда не будет — так что там фактор устроен, как проколотая окрестность нуля).
Теперь в группе Г(5) нет отображения z->z+1, зато есть отображение z->z+5. Поэтому в один из таких каспов собирается идущая "на i∞" полоса шириной 5 (с помощью отображения z-> q=exp(2πi z/5) ).
А жорданова клетка
(1 1)
(0 1),
соответствующая преобразованию z->z+1, этот касп оставляет на месте, поворачивая q на (1/5) оборота — и порождённая ей подгруппа порядка 5 это и есть стабилизатор этого каспа.
И теперь на сфере-факторе появляется замечательная картина: 12 точек-каспов, окружённых пятиугольниками, которые факторгруппа
PSL(2,Z)/Г(5)=PSL(2,Z/5Z)
умеет поворачивать и переставлять друг в друга. Конечно, это вершины икосаэдра — а пятиугольники, их содержащие, образуют двойственный додекаэр!
В частности — группа PSL(2,Z/5Z) это группа движений додекаэдра, то есть A_5 !
Image credit: ICM 2022
PSL(2,Z)/Г(5)=PSL(2,Z/5Z)
умеет поворачивать и переставлять друг в друга. Конечно, это вершины икосаэдра — а пятиугольники, их содержащие, образуют двойственный додекаэр!
В частности — группа PSL(2,Z/5Z) это группа движений додекаэдра, то есть A_5 !
Image credit: ICM 2022
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://arxiv.org/abs/1010.3465
(G.Blekherman. Nonnegative Polynomials and Sums of Squares)
«It is a central question in real algebraic geometry, whether a non-negative polynomial can be written in a way that makes its nonnegativity apparent, i.e. as a sum of squares of polynomials (or more general objects). Algorithms to obtain such representations, when they are known, have many applications in polynomial optimization [9],[10],[11].
The investigation of the relation between nonnegativity and sums of squares began in the seminal paper of Hilbert from 1888. Hilbert showed that every nonnegative polynomial is a sum of squares of polynomials only in the following 3 cases: univariate polynomials, quadratic polynomials and bivariate polynomials of degree 4. In all other cases Hilbert showed existence of nonnegative polynomials that are not sums of squares. Hilbert’s proof used the fact that polynomials of degree d satisfy linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d [14],[15].
Hilbert then showed that every bivariate nonnegative polynomial is a sum of squares of rational functions and Hilbert’s 17th problem asked whether this is true in general. In 1920’a Artin and Schreier solved Hilbert’s 17th problem in the affirmative. However, there is no known algorithm to obtain this representation. In particular we may need to use numerators and denominators of very large degree, thus representing a simple object (the polynomial) as a sum of squares of significantly more complex objects [3].
It should be noted that Hilbert did not provide an explicit nonnegative polynomial that is not a sum of squares of polynomials, he only proved its existence. The first explicit example appeared only eighty years later and is due to Motzkin. Since then many explicit examples of nonnegative polynomials that are not sums of squares have appeared [14].»
(G.Blekherman. Nonnegative Polynomials and Sums of Squares)
«It is a central question in real algebraic geometry, whether a non-negative polynomial can be written in a way that makes its nonnegativity apparent, i.e. as a sum of squares of polynomials (or more general objects). Algorithms to obtain such representations, when they are known, have many applications in polynomial optimization [9],[10],[11].
The investigation of the relation between nonnegativity and sums of squares began in the seminal paper of Hilbert from 1888. Hilbert showed that every nonnegative polynomial is a sum of squares of polynomials only in the following 3 cases: univariate polynomials, quadratic polynomials and bivariate polynomials of degree 4. In all other cases Hilbert showed existence of nonnegative polynomials that are not sums of squares. Hilbert’s proof used the fact that polynomials of degree d satisfy linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d [14],[15].
Hilbert then showed that every bivariate nonnegative polynomial is a sum of squares of rational functions and Hilbert’s 17th problem asked whether this is true in general. In 1920’a Artin and Schreier solved Hilbert’s 17th problem in the affirmative. However, there is no known algorithm to obtain this representation. In particular we may need to use numerators and denominators of very large degree, thus representing a simple object (the polynomial) as a sum of squares of significantly more complex objects [3].
It should be noted that Hilbert did not provide an explicit nonnegative polynomial that is not a sum of squares of polynomials, he only proved its existence. The first explicit example appeared only eighty years later and is due to Motzkin. Since then many explicit examples of nonnegative polynomials that are not sums of squares have appeared [14].»
Forwarded from Непрерывное математическое образование
и вот еще такой текст
https://www.math.ens.fr/~benoist/articles/CarresEMS.pdf
(Oliver Benoist. Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares)
«In 1927, Artin proved that a real polynomial that is positive semidefinite is a sum of squares of rational functions, thus solving Hilbert’s 17th problem. We review Artin’s Theorem and its posterity, browsing through basic examples, classical results and recent developments. We focus on a question first considered by Pfister: can one write a positive semidefinite polynomial as a sum of few squares?
https://www.math.ens.fr/~benoist/articles/CarresEMS.pdf
(Oliver Benoist. Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares)
«In 1927, Artin proved that a real polynomial that is positive semidefinite is a sum of squares of rational functions, thus solving Hilbert’s 17th problem. We review Artin’s Theorem and its posterity, browsing through basic examples, classical results and recent developments. We focus on a question first considered by Pfister: can one write a positive semidefinite polynomial as a sum of few squares?
Forwarded from tropical saint petersburg
16 мая 2021 года — 200 лет Чебышеву (произносится ЧебышЁв, пишется — Чебышев)
Самая крутая лекция (Этьена Жиса, по английски, тут по французски, см. также sine Gordon) про Чебышёва, геометрию, поверхности, как сшить форму для сферического солдата (а что человек имеет форму шара [по воскресении], то было анафематствовано поместным собором в Константинополе в 543 году в числе заблуждений оригенистов).
и лекция Коли Андреева о механизмах Чебышева
Самая крутая лекция (Этьена Жиса, по английски, тут по французски, см. также sine Gordon) про Чебышёва, геометрию, поверхности, как сшить форму для сферического солдата (а что человек имеет форму шара [по воскресении], то было анафематствовано поместным собором в Константинополе в 543 году в числе заблуждений оригенистов).
и лекция Коли Андреева о механизмах Чебышева
Forwarded from Математические этюды
4 мая по старому стилю в 1821 году родился великий российский математик Пафнутий Львович Чебышев. Сегодня, 4 мая 2021 года запущена новая современная версия интернет-музея «Механизмы П.Л. Чебышева» https://tcheb.ru/. Обновление проекта приурочено к 200-летнему юбилею великого математика, который будет отмечаться в день его рождения по новому стилю – 16 мая и в последующие дни.
Академик Императорской Санкт-Петербургской академии наук, основатель Санкт-Петербургской математической школы доказал фундаментальные результаты во многих областях математики. Это и теория чисел, и теория вероятности, и теория функций. Совмещение результатов по теории приближения функций, основоположником которой общепризнано является Чебышев, и метрическому синтезу механизмов привело к созданию более 30 интересных механизмов Они выставлялись на всемирных выставках, некоторые до сих пор хранятся в Политехническом музее г. Москвы, в музеях Санкт-Петербурга, Парижа и Лондона.
В годы Великой отечественной войны к исследованию механизмов и теорем Чебышева по метрическому синтезу механизмов академика И.И. Артоболевского подтолкнули практические задачи. Это была «вторая жизнь» механизмов. А «третья жизнь» началась уже в XXI веке, с появления фильма о движении «Стопоходящей машины», созданной Чебышевым. В 2007 году в первые «премьерные дни» его посмотрели более 100 тысяч человек и сейчас уже на ютубе можно встретить много моделей, сделанных школьниками. С этого фильма и начался проект «Механизмы П.Л. Чебышёва».
В проекте реконструированы все механизмы, созданные великим математиком. Среди них — первая в мире шагающая машина («стопоходящая»), «сортировалка», «самокатное кресло», «гребной» механизм и многие другие изобретения. Были тщательно измерены все параметры оригиналов и точно реконструированы механизмы, хранящиеся в музеях. Утраченные предметы восстанавливались по архивным документам. В фильмах проекта демонстрируется как принцип действия механизмов, так и их математическая основа – приближение заданной линии (отрезок, дуга окружности, полная окружность и др.) шатунной кривой.
Новая версия проекта стала более современной: обновлена и основанная, и мобильная версии. Все фильмы теперь представлены в 4K-разрешении. Дополнена и ещё будет дополняться информация, появившаяся уже после создания первой версии.
Академик Императорской Санкт-Петербургской академии наук, основатель Санкт-Петербургской математической школы доказал фундаментальные результаты во многих областях математики. Это и теория чисел, и теория вероятности, и теория функций. Совмещение результатов по теории приближения функций, основоположником которой общепризнано является Чебышев, и метрическому синтезу механизмов привело к созданию более 30 интересных механизмов Они выставлялись на всемирных выставках, некоторые до сих пор хранятся в Политехническом музее г. Москвы, в музеях Санкт-Петербурга, Парижа и Лондона.
В годы Великой отечественной войны к исследованию механизмов и теорем Чебышева по метрическому синтезу механизмов академика И.И. Артоболевского подтолкнули практические задачи. Это была «вторая жизнь» механизмов. А «третья жизнь» началась уже в XXI веке, с появления фильма о движении «Стопоходящей машины», созданной Чебышевым. В 2007 году в первые «премьерные дни» его посмотрели более 100 тысяч человек и сейчас уже на ютубе можно встретить много моделей, сделанных школьниками. С этого фильма и начался проект «Механизмы П.Л. Чебышёва».
В проекте реконструированы все механизмы, созданные великим математиком. Среди них — первая в мире шагающая машина («стопоходящая»), «сортировалка», «самокатное кресло», «гребной» механизм и многие другие изобретения. Были тщательно измерены все параметры оригиналов и точно реконструированы механизмы, хранящиеся в музеях. Утраченные предметы восстанавливались по архивным документам. В фильмах проекта демонстрируется как принцип действия механизмов, так и их математическая основа – приближение заданной линии (отрезок, дуга окружности, полная окружность и др.) шатунной кривой.
Новая версия проекта стала более современной: обновлена и основанная, и мобильная версии. Все фильмы теперь представлены в 4K-разрешении. Дополнена и ещё будет дополняться информация, появившаяся уже после создания первой версии.