И теперь на сфере-факторе появляется замечательная картина: 12 точек-каспов, окружённых пятиугольниками, которые факторгруппа
PSL(2,Z)/Г(5)=PSL(2,Z/5Z)
умеет поворачивать и переставлять друг в друга. Конечно, это вершины икосаэдра — а пятиугольники, их содержащие, образуют двойственный додекаэр!
В частности — группа PSL(2,Z/5Z) это группа движений додекаэдра, то есть A_5 !
Image credit: ICM 2022
PSL(2,Z)/Г(5)=PSL(2,Z/5Z)
умеет поворачивать и переставлять друг в друга. Конечно, это вершины икосаэдра — а пятиугольники, их содержащие, образуют двойственный додекаэр!
В частности — группа PSL(2,Z/5Z) это группа движений додекаэдра, то есть A_5 !
Image credit: ICM 2022
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://arxiv.org/abs/1010.3465
(G.Blekherman. Nonnegative Polynomials and Sums of Squares)
«It is a central question in real algebraic geometry, whether a non-negative polynomial can be written in a way that makes its nonnegativity apparent, i.e. as a sum of squares of polynomials (or more general objects). Algorithms to obtain such representations, when they are known, have many applications in polynomial optimization [9],[10],[11].
The investigation of the relation between nonnegativity and sums of squares began in the seminal paper of Hilbert from 1888. Hilbert showed that every nonnegative polynomial is a sum of squares of polynomials only in the following 3 cases: univariate polynomials, quadratic polynomials and bivariate polynomials of degree 4. In all other cases Hilbert showed existence of nonnegative polynomials that are not sums of squares. Hilbert’s proof used the fact that polynomials of degree d satisfy linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d [14],[15].
Hilbert then showed that every bivariate nonnegative polynomial is a sum of squares of rational functions and Hilbert’s 17th problem asked whether this is true in general. In 1920’a Artin and Schreier solved Hilbert’s 17th problem in the affirmative. However, there is no known algorithm to obtain this representation. In particular we may need to use numerators and denominators of very large degree, thus representing a simple object (the polynomial) as a sum of squares of significantly more complex objects [3].
It should be noted that Hilbert did not provide an explicit nonnegative polynomial that is not a sum of squares of polynomials, he only proved its existence. The first explicit example appeared only eighty years later and is due to Motzkin. Since then many explicit examples of nonnegative polynomials that are not sums of squares have appeared [14].»
(G.Blekherman. Nonnegative Polynomials and Sums of Squares)
«It is a central question in real algebraic geometry, whether a non-negative polynomial can be written in a way that makes its nonnegativity apparent, i.e. as a sum of squares of polynomials (or more general objects). Algorithms to obtain such representations, when they are known, have many applications in polynomial optimization [9],[10],[11].
The investigation of the relation between nonnegativity and sums of squares began in the seminal paper of Hilbert from 1888. Hilbert showed that every nonnegative polynomial is a sum of squares of polynomials only in the following 3 cases: univariate polynomials, quadratic polynomials and bivariate polynomials of degree 4. In all other cases Hilbert showed existence of nonnegative polynomials that are not sums of squares. Hilbert’s proof used the fact that polynomials of degree d satisfy linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d [14],[15].
Hilbert then showed that every bivariate nonnegative polynomial is a sum of squares of rational functions and Hilbert’s 17th problem asked whether this is true in general. In 1920’a Artin and Schreier solved Hilbert’s 17th problem in the affirmative. However, there is no known algorithm to obtain this representation. In particular we may need to use numerators and denominators of very large degree, thus representing a simple object (the polynomial) as a sum of squares of significantly more complex objects [3].
It should be noted that Hilbert did not provide an explicit nonnegative polynomial that is not a sum of squares of polynomials, he only proved its existence. The first explicit example appeared only eighty years later and is due to Motzkin. Since then many explicit examples of nonnegative polynomials that are not sums of squares have appeared [14].»
Forwarded from Непрерывное математическое образование
и вот еще такой текст
https://www.math.ens.fr/~benoist/articles/CarresEMS.pdf
(Oliver Benoist. Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares)
«In 1927, Artin proved that a real polynomial that is positive semidefinite is a sum of squares of rational functions, thus solving Hilbert’s 17th problem. We review Artin’s Theorem and its posterity, browsing through basic examples, classical results and recent developments. We focus on a question first considered by Pfister: can one write a positive semidefinite polynomial as a sum of few squares?
https://www.math.ens.fr/~benoist/articles/CarresEMS.pdf
(Oliver Benoist. Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares)
«In 1927, Artin proved that a real polynomial that is positive semidefinite is a sum of squares of rational functions, thus solving Hilbert’s 17th problem. We review Artin’s Theorem and its posterity, browsing through basic examples, classical results and recent developments. We focus on a question first considered by Pfister: can one write a positive semidefinite polynomial as a sum of few squares?
Forwarded from tropical saint petersburg
16 мая 2021 года — 200 лет Чебышеву (произносится ЧебышЁв, пишется — Чебышев)
Самая крутая лекция (Этьена Жиса, по английски, тут по французски, см. также sine Gordon) про Чебышёва, геометрию, поверхности, как сшить форму для сферического солдата (а что человек имеет форму шара [по воскресении], то было анафематствовано поместным собором в Константинополе в 543 году в числе заблуждений оригенистов).
и лекция Коли Андреева о механизмах Чебышева
Самая крутая лекция (Этьена Жиса, по английски, тут по французски, см. также sine Gordon) про Чебышёва, геометрию, поверхности, как сшить форму для сферического солдата (а что человек имеет форму шара [по воскресении], то было анафематствовано поместным собором в Константинополе в 543 году в числе заблуждений оригенистов).
и лекция Коли Андреева о механизмах Чебышева
Forwarded from Математические этюды
4 мая по старому стилю в 1821 году родился великий российский математик Пафнутий Львович Чебышев. Сегодня, 4 мая 2021 года запущена новая современная версия интернет-музея «Механизмы П.Л. Чебышева» https://tcheb.ru/. Обновление проекта приурочено к 200-летнему юбилею великого математика, который будет отмечаться в день его рождения по новому стилю – 16 мая и в последующие дни.
Академик Императорской Санкт-Петербургской академии наук, основатель Санкт-Петербургской математической школы доказал фундаментальные результаты во многих областях математики. Это и теория чисел, и теория вероятности, и теория функций. Совмещение результатов по теории приближения функций, основоположником которой общепризнано является Чебышев, и метрическому синтезу механизмов привело к созданию более 30 интересных механизмов Они выставлялись на всемирных выставках, некоторые до сих пор хранятся в Политехническом музее г. Москвы, в музеях Санкт-Петербурга, Парижа и Лондона.
В годы Великой отечественной войны к исследованию механизмов и теорем Чебышева по метрическому синтезу механизмов академика И.И. Артоболевского подтолкнули практические задачи. Это была «вторая жизнь» механизмов. А «третья жизнь» началась уже в XXI веке, с появления фильма о движении «Стопоходящей машины», созданной Чебышевым. В 2007 году в первые «премьерные дни» его посмотрели более 100 тысяч человек и сейчас уже на ютубе можно встретить много моделей, сделанных школьниками. С этого фильма и начался проект «Механизмы П.Л. Чебышёва».
В проекте реконструированы все механизмы, созданные великим математиком. Среди них — первая в мире шагающая машина («стопоходящая»), «сортировалка», «самокатное кресло», «гребной» механизм и многие другие изобретения. Были тщательно измерены все параметры оригиналов и точно реконструированы механизмы, хранящиеся в музеях. Утраченные предметы восстанавливались по архивным документам. В фильмах проекта демонстрируется как принцип действия механизмов, так и их математическая основа – приближение заданной линии (отрезок, дуга окружности, полная окружность и др.) шатунной кривой.
Новая версия проекта стала более современной: обновлена и основанная, и мобильная версии. Все фильмы теперь представлены в 4K-разрешении. Дополнена и ещё будет дополняться информация, появившаяся уже после создания первой версии.
Академик Императорской Санкт-Петербургской академии наук, основатель Санкт-Петербургской математической школы доказал фундаментальные результаты во многих областях математики. Это и теория чисел, и теория вероятности, и теория функций. Совмещение результатов по теории приближения функций, основоположником которой общепризнано является Чебышев, и метрическому синтезу механизмов привело к созданию более 30 интересных механизмов Они выставлялись на всемирных выставках, некоторые до сих пор хранятся в Политехническом музее г. Москвы, в музеях Санкт-Петербурга, Парижа и Лондона.
В годы Великой отечественной войны к исследованию механизмов и теорем Чебышева по метрическому синтезу механизмов академика И.И. Артоболевского подтолкнули практические задачи. Это была «вторая жизнь» механизмов. А «третья жизнь» началась уже в XXI веке, с появления фильма о движении «Стопоходящей машины», созданной Чебышевым. В 2007 году в первые «премьерные дни» его посмотрели более 100 тысяч человек и сейчас уже на ютубе можно встретить много моделей, сделанных школьниками. С этого фильма и начался проект «Механизмы П.Л. Чебышёва».
В проекте реконструированы все механизмы, созданные великим математиком. Среди них — первая в мире шагающая машина («стопоходящая»), «сортировалка», «самокатное кресло», «гребной» механизм и многие другие изобретения. Были тщательно измерены все параметры оригиналов и точно реконструированы механизмы, хранящиеся в музеях. Утраченные предметы восстанавливались по архивным документам. В фильмах проекта демонстрируется как принцип действия механизмов, так и их математическая основа – приближение заданной линии (отрезок, дуга окружности, полная окружность и др.) шатунной кривой.
Новая версия проекта стала более современной: обновлена и основанная, и мобильная версии. Все фильмы теперь представлены в 4K-разрешении. Дополнена и ещё будет дополняться информация, появившаяся уже после создания первой версии.
Математические байки
Да, для того, чтобы мы восстановили диаграмму, "вписанную" в график y=|x|, нужно, чтобы: *) в минус бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы заняты; *) в плюс бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы свободны; *) число…
Давайте продолжим про тройное произведение?
У его доказательства, которое мы сейчас проведём, есть физическая мотивация, которая сама по себе интересна. Но прежде, чем её рассказывать, я хочу предупредить, что уровень аккуратности моего рассказа этой физической части — рыбацкая байка. А, как известно, рыбацким рассказам о том, как в озере Глубоком у деревни Новодарьино попался воот такенный сомище — стоит верить в том, что озеро Глубокое и впрямь существует. Ну, если рассказчик и впрямь заслуживающий доверия — ещё что рыба в том озере есть. Хоть какая-то.
И для этой физической части мы вернёмся чуть меньше, чем на сотню лет назад. Уже написано уравнение Шрёдингера — но оно не дружит с теорией относительности. А ещё в поле притяжения точечного заряда (читай, атома) оно без доработки напильником предсказывает в два раза меньше состояний электронов, чем надо бы: тот самый спин, стрелочки вверх и вниз, которые на уроках химии рисуют в клеточках, приходится "вручную" добавлять отдельно. (Или "двухместность" комнат в статье "Дом для электронов" Валерии Сироты в "Квантике" — снимаю шляпу и пользуюсь случаем порекламировать, ибо рассказ совершенно замечательный.)
И Поль Дирак в 1928-м выводит "дружащее с преобразованиями Лоренца" уравнение, уравнение Дирака.
У его доказательства, которое мы сейчас проведём, есть физическая мотивация, которая сама по себе интересна. Но прежде, чем её рассказывать, я хочу предупредить, что уровень аккуратности моего рассказа этой физической части — рыбацкая байка. А, как известно, рыбацким рассказам о том, как в озере Глубоком у деревни Новодарьино попался воот такенный сомище — стоит верить в том, что озеро Глубокое и впрямь существует. Ну, если рассказчик и впрямь заслуживающий доверия — ещё что рыба в том озере есть. Хоть какая-то.
И для этой физической части мы вернёмся чуть меньше, чем на сотню лет назад. Уже написано уравнение Шрёдингера — но оно не дружит с теорией относительности. А ещё в поле притяжения точечного заряда (читай, атома) оно без доработки напильником предсказывает в два раза меньше состояний электронов, чем надо бы: тот самый спин, стрелочки вверх и вниз, которые на уроках химии рисуют в клеточках, приходится "вручную" добавлять отдельно. (Или "двухместность" комнат в статье "Дом для электронов" Валерии Сироты в "Квантике" — снимаю шляпу и пользуюсь случаем порекламировать, ибо рассказ совершенно замечательный.)
И Поль Дирак в 1928-м выводит "дружащее с преобразованиями Лоренца" уравнение, уравнение Дирака.
Первые полтора абзаца статьи Дирака "The Quantum Theory of the Electron" (Proceedings of the Royal Society of London. Series A, vol. 117, issue 778, 01 February 1928).
(Кстати — интересно, насколько легко текст читается!)
(Кстати — интересно, насколько легко текст читается!)
Сейчас неважно, как именно оно устроено — а важно то, что у него оказался, на первый взгляд, большой дефект: даже просто в вакууме в дополнение к куче [обобщённых] состояний со сколь угодно большой положительной энергией (что логично — кинетическая энергия может быть сколь угодно большой, берём да разгоняем) у него оказывались состояния с такой же, но отрицательной энергией.
А это уже создавало проблему: точно так же, как электрон у атома из возбуждённого состояния "проваливается" обратно, излучая фотон — так вот, точно так же электрон мог и должен был бы проваливаться всё глубже и глубже в эти отрицательные состояния. А этого мы не видим.
А это уже создавало проблему: точно так же, как электрон у атома из возбуждённого состояния "проваливается" обратно, излучая фотон — так вот, точно так же электрон мог и должен был бы проваливаться всё глубже и глубже в эти отрицательные состояния. А этого мы не видим.
Ещё один абзац из статьи Дирака, на этот раз, присланной 6 декабря 1929 года и вышедшей 1 января 1930 года —
Dirac Paul Adrien Maurice, Theory of electrons and protons, Proc. R. Soc. Lond. A, 126, pp. 360--365.
Dirac Paul Adrien Maurice, Theory of electrons and protons, Proc. R. Soc. Lond. A, 126, pp. 360--365.
Да, про излучение фотонов перепрыгивающими на более низкую орбиталь возбуждёнными электронами — мне хочется вспомнить вот эту серию из "Нобелевского сезона" "Смешариков" про фейерверки и цвет пламени; да, конечно, электроны "на орбитах" это ещё не квантовая механика, но для детей очень приятно сделано!
Вообще, самое известное тут это что медь окрашивает пламя в зелёный цвет; а вот тут Маску задают вопрос про кадр из полёта SN10, "чем вызвана зелёная вспышка" и получают ответ
"Зелёное пламя в этом контексте означает, что двигатель сжигает внутренние компоненты, сделанные из меди. Обычно за этим следует Быстрая Незапланированная Разборка."
"Зелёное пламя в этом контексте означает, что двигатель сжигает внутренние компоненты, сделанные из меди. Обычно за этим следует Быстрая Незапланированная Разборка."
Twitter
Elon Musk
@thejackbeyer @NASASpaceflight Green flame in this context means engine is burning internal components made of copper. This is usually followed by a RUD (Rapid Unscheduled Disassembly).
Математические байки
Сейчас неважно, как именно оно устроено — а важно то, что у него оказался, на первый взгляд, большой дефект: даже просто в вакууме в дополнение к куче [обобщённых] состояний со сколь угодно большой положительной энергией (что логично — кинетическая энергия…
И Дирак очень красиво решил эту проблему, предложив концепцию "моря Дирака" — сказав, что да, все эти состояния тоже есть. Но они все уже заняты! И заняты они везде и всюду, и это ["нейтральное"] состояние мы воспринимаем как вакуум.
И тогда, раз все состояния с отрицательной энергией уже заняты — проблема проваливания туда снимается. Но что, если мы из одного из этих состояний электрон "достанем"?
Опять-таки, давайте я продолжу цитатой из статьи Дирака:
И тогда, раз все состояния с отрицательной энергией уже заняты — проблема проваливания туда снимается. Но что, если мы из одного из этих состояний электрон "достанем"?
Опять-таки, давайте я продолжу цитатой из статьи Дирака:
Математические байки
Ещё один абзац из статьи Дирака, на этот раз, присланной 6 декабря 1929 года и вышедшей 1 января 1930 года — Dirac Paul Adrien Maurice, Theory of electrons and protons, Proc. R. Soc. Lond. A, 126, pp. 360--365.
Dirac Paul Adrien Maurice, Theory of electrons and protons, Proc. R. Soc. Lond. A, 126, 01 January 1930, pp. 360--365.
Математические байки
Ещё один абзац из статьи Дирака, на этот раз, присланной 6 декабря 1929 года и вышедшей 1 января 1930 года — Dirac Paul Adrien Maurice, Theory of electrons and protons, Proc. R. Soc. Lond. A, 126, pp. 360--365.
Так вот, что будет, если убрать один из этого моря электронов с отрицательной энергией (выглядящего для нас, как нейтральный вакуум)? От него останется "дырка" — которая будет для нас выглядеть, как положительно заряженная частица.
А вот если электрон к такой дырке подлетит — то вот тут он с большой радостью её займёт, перепрыгнув из своего состояния с большой положительной энергией в свободное состояние с большой отрицательной, и отдав разность энергий в качестве излучения (кто сказал "аннигиляция"?).
И опять же — см. середину уже процитированного абзаца статьи Дирака:
"... transitions can take place in which the energy of the electron changes from a positive to a negative value ..., the surplus energy, at least 2mc^2 in amount, being spontaneously emitted in form of radiation."
А вот если электрон к такой дырке подлетит — то вот тут он с большой радостью её займёт, перепрыгнув из своего состояния с большой положительной энергией в свободное состояние с большой отрицательной, и отдав разность энергий в качестве излучения (кто сказал "аннигиляция"?).
И опять же — см. середину уже процитированного абзаца статьи Дирака:
"... transitions can take place in which the energy of the electron changes from a positive to a negative value ..., the surplus energy, at least 2mc^2 in amount, being spontaneously emitted in form of radiation."
Правда, в статье 1929/30 года Дирак ошибочно отождествляет такую дырку с протоном: "We are therefore led to the assumption that the holes in the distribution of negativeenergy electrons are the protons."
Но уже в статье 1931 года он исправляется:
"Subsequent investigations, however, have shown that this particle necessarily has the same mass as an electron and also that, if it collides with an electron, the two will have a chance of annihilating one another much too great to be consistent with the known stability of matter."
(+сноски — H. Weyl, Тамм, Оппенгеймер, Дирак).
Но уже в статье 1931 года он исправляется:
"Subsequent investigations, however, have shown that this particle necessarily has the same mass as an electron and also that, if it collides with an electron, the two will have a chance of annihilating one another much too great to be consistent with the known stability of matter."
(+сноски — H. Weyl, Тамм, Оппенгеймер, Дирак).
И — совершенно блестяще предсказывает позитрон, таким, как мы его знаем. Вот соответствующий участок статьи — обратите внимание, как точно написано, и как замечательно читается!
(From: Paul Adrien Maurice Dirac, Quantised singularities in the electromagnetic field, Proc. R. Soc. Lond. A, 133, pp. 60–72, 01 September 1931)
(From: Paul Adrien Maurice Dirac, Quantised singularities in the electromagnetic field, Proc. R. Soc. Lond. A, 133, pp. 60–72, 01 September 1931)
Математические байки
Да, для того, чтобы мы восстановили диаграмму, "вписанную" в график y=|x|, нужно, чтобы: *) в минус бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы заняты; *) в плюс бесконечности, начиная с некоторого момента все лунки были бы свободны; *) число…
Хорошо, а при чём всё-таки тут тройное произведение?
Рассмотрим модельную ситуацию — пусть у нас разрешённые энергии это все полуцелые числа. И рассмотрим "вакуумное состояние", когда все состояния с отрицательной энергией заняты, а с положительной — свободны:
Рассмотрим модельную ситуацию — пусть у нас разрешённые энергии это все полуцелые числа. И рассмотрим "вакуумное состояние", когда все состояния с отрицательной энергией заняты, а с положительной — свободны:
А теперь посмотрим на состояния, отличающиеся от вакуумного лишь в конечном числе мест. У них есть две характеристики — энергия E и полный заряд Q (который мы будем считать в "штуках частиц", то есть добавление частицы его увеличивает, а не уменьшает).
(Состояния, отличающиеся в бесконечном числе мест, будут с бесконечной энергией — так что не рассматривать их вполне логично.)
Так давайте составим производящую функцию у этой пары характеристик — просуммируем x^Q*q^E по всем допустимым состояниям. Что получится?
(Состояния, отличающиеся в бесконечном числе мест, будут с бесконечной энергией — так что не рассматривать их вполне логично.)
Так давайте составим производящую функцию у этой пары характеристик — просуммируем x^Q*q^E по всем допустимым состояниям. Что получится?