Получаем
(7-0):(4-3) = 7:1,
как мы уже видели в самом начале.

Иллюстрация из статьи Мартина Гарднера "On the paradoxical situations that arise from nontransitive relations" в колонке "Mathematical Games", Scientific American, октябрь 1974

(а H и T тут — от английских Head и Tail)

Картинка из той же статьи — как играть для слов длины 3 (красным выделены оптимальные ответы):

Ну и прекрасная цитата из той же статьи Гарднера —

Да — возвращаясь к началу, Бунимович занимается динамическими системами и бильярдами. Скажем, одна из известных систем — "стадион Бунимовича":
https://blogs.ams.org/visualinsight/2016/11/15/bunimovich-stadium/

Бильярдные траектории в (строго) выпуклых областях ведут себя более-менее регулярно, а в (кусочно) вогнутых — хаотично.

Но оказывается, что если построить по полукругу на противоположных сторонах прямоугольника, то в получившемся "стадионе" бильярдные траектории летают как раз таки хаотично — а не регулярно, как можно было бы подумать, исходя из его выпуклости.

Так вот — почему же Бунимович эту игру вспомнил? Дело в том, что для динамических систем один из стандартных инструментов это кодирование точки — сопоставление ей последовательности символов.

Один из самых основных примеров — это отображение F:x->{2x} отрезка [0,1] в себя.

Оно хаотично: если взять две точки очень близко друг к другу, и начать применять F — то на каждой итерации расстояния между точками будут удваиваться. (Тут удобнее вместо отрезка рассмотреть окружность, склеив 0 и 1 — тогда отображение становится непрерывным, и удваивающим угол; кстати, если нарисовать эту окружность на комплексной плоскости — взять z=exp(2 \pi i x), — то получающееся отображение это просто z->z^2. Но туда мы не пойдём...)

Так вот — давайте разобьём отрезок на две части, I_0=[0,1/2) и I_1=[1/2,1). И сопоставим точке x последовательность нулей и единиц: на n-м месте поставим то, в какой интервал попадает F^n(x).

Если в I_0, то 0, если в I_1, то 1.

Совершенно общее утверждение при таком подходе: одно применение F приводит к сдвигу кодирующей последовательности на один символ влево.

А в нашем случае всё ещё лучше:
- кодирование точки x это её двоичная запись
- если выбрать точку x равномерно на [0,1], то символы из кодирующей последовательности получаются как подбрасывания независимых честных монеток

А, например, выпадение 0,1,0 на n,n+1,n+2-ых подбрасываниях превращается в "F^n(x) между точками с двоичными записями {0,010}_2 и {0,011}_2 — то есть на полуинтервале [1/4, 3/8)".

Соответственно, игра Penney превращается в размещение "лунок": сначала один, потом второй игрок размещают лунки-отрезки длиной по 1/2^k; начальная точка выбирается равномерно случайно, и итерируется отображением F. В чью лунку она попадёт первой, тот победил.

Бунимович, правда, использовал немного другое отображение, "tent map" — F(x)=|2x-1|.