Бильярдные траектории в (строго) выпуклых областях ведут себя более-менее регулярно, а в (кусочно) вогнутых — хаотично.
Но оказывается, что если построить по полукругу на противоположных сторонах прямоугольника, то в получившемся "стадионе" бильярдные траектории летают как раз таки хаотично — а не регулярно, как можно было бы подумать, исходя из его выпуклости.
Так вот — почему же Бунимович эту игру вспомнил? Дело в том, что для динамических систем один из стандартных инструментов это кодирование точки — сопоставление ей последовательности символов.
Один из самых основных примеров — это отображение F:x->{2x} отрезка [0,1] в себя.
Оно хаотично: если взять две точки очень близко друг к другу, и начать применять F — то на каждой итерации расстояния между точками будут удваиваться. (Тут удобнее вместо отрезка рассмотреть окружность, склеив 0 и 1 — тогда отображение становится непрерывным, и удваивающим угол; кстати, если нарисовать эту окружность на комплексной плоскости — взять z=exp(2 \pi i x), — то получающееся отображение это просто z->z^2. Но туда мы не пойдём...)
Так вот — давайте разобьём отрезок на две части, I_0=[0,1/2) и I_1=[1/2,1). И сопоставим точке x последовательность нулей и единиц: на n-м месте поставим то, в какой интервал попадает F^n(x).
Совершенно общее утверждение при таком подходе: одно применение F приводит к сдвигу кодирующей последовательности на один символ влево.
А в нашем случае всё ещё лучше:
- кодирование точки x это её двоичная запись
- если выбрать точку x равномерно на [0,1], то символы из кодирующей последовательности получаются как подбрасывания независимых честных монеток
- кодирование точки x это её двоичная запись
- если выбрать точку x равномерно на [0,1], то символы из кодирующей последовательности получаются как подбрасывания независимых честных монеток
А, например, выпадение 0,1,0 на n,n+1,n+2-ых подбрасываниях превращается в "F^n(x) между точками с двоичными записями {0,010}_2 и {0,011}_2 — то есть на полуинтервале [1/4, 3/8)".
Соответственно, игра Penney превращается в размещение "лунок": сначала один, потом второй игрок размещают лунки-отрезки длиной по 1/2^k; начальная точка выбирается равномерно случайно, и итерируется отображением F. В чью лунку она попадёт первой, тот победил.
Бунимович, правда, использовал немного другое отображение, "tent map" — F(x)=|2x-1|.
Но кодирование к этому отображению можно применить совершенно так же, просто дословно с теми же I_0 и I_1.
И он больше говорил о вопросе "какова мера начальных условий, которые не попадают в одну лунку J за время n" (она убывает экспоненциально с ростом n, но по-разному для разных лунок одинаковой длины).
Но на этом месте я, пожалуй, прекращу дозволенные речи. :)
В Bedlewo сегодня завершается конференция "2020 Vision for the dynamics" (https://www.impan.pl/en/activities/banach-center/conferences/19-vision2020 ), посвящённая памяти А. Б. Катка (https://ru.wikipedia.org/wiki/Каток,_Анатолий_Борисович ). И мне хотелось поделиться ещё парой фотографий с докладов:
С доклада Е. А. Робинсона-младшего (https://blogs.gwu.edu/robinson/ ) :
Как раз та самая подстановка Фибоначчи, о которой в Дубне рассказывал А. П. Веселов: ( https://vk.com/videos-65937233?z=video-65937233_456239054%2Fclub65937233%2Fpl_-65937233_-2 / https://mccme.ru/dubna/2019/courses/veselov.html )