В.И.Арнольд. Таинственные математические троицы

«Я постараюсь рассказать о некоторых удивляющих меня явлениях в математике. (…) Речь пойдёт об определённых наблюдениях, которые приводят к очень большому числу теорем и гипотез (…). Но интерес, который они представляют, состоит в общей точке зрения…»

А ещё из тех же "Студенческих чтений" (https://www.mccme.ru/ium/stcht.html ) мне запомнились лекции Манина и Кириллова (кстати — прямо сейчас я слушаю доклад со словами "Пенлеве").
И вообще — записки "Студенческих чтений" (https://www.mccme.ru/free-books/globus/iumlectures1.pdf + https://www.mccme.ru/free-books/globus/globus1.pdf + ...), мне кажется, очень стоит почитать (кстати — они лежат на той самой странице free-books, о которой Дед Мороз недавно напоминал).

Есть такая задача:
На шахматной доске на поле c1 стоит ферзь. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8. Кто выигрывает при правильной игре?
(Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки.)

Понятно, как она решается — стандартной техникой выигрышных/проигрышных позиций. Если ферзь уже стоит в углу h8, то начинающий проиграл. Все клетки, из которых в h8 можно попасть за один ход — выигрышные, нужно просто взять и на это поле h8 пойти:

Теперь — если при ходе начинающего ферзь стоит на одном из полей g6 и f7, то пойти можно только на выигрышные (для ходящего с них) позиции, то есть отдать победу противнику. Значит, они для начинающего проигрышные:

Поэтому с любого из полей, куда можно туда пойти — надо туда ходить и выигрывать:

Значит, e3 и c5 проигрышные, ну а те, откуда на них можно пойти — выигрышные:

Ну и разбор на доске 8x8 завершается тем, что клетки d1 и a4 проигрышные:

И ответ на исходный вопрос задачи — выигрывает начинающий, любым из ходов на c5, d1 или e3.

Но — а что, если доска будет большего размера?
Давайте только, для удобства рисования, перевернём доску — пусть ферзь идёт в левый нижний угол. То есть — разрешено его двигать влево, вниз, и по диагонали влево-вниз.

Если пронумеровать строки и столбцы, начиная с 0, то эта игра оказывается эквивалентной игре цзяньшицзы: есть две кучки камней, за один ход можно взять сколько угодно камней из одной из кучек или поровну из обеих; кто не может сделать ход, проиграл (или — побеждает тот, кто взял последний камень).

И вот статья о ней в "Кванте" в 1984 году:
Матулис А., Савукинас А., Ферзя — в угол, ``цзяньшицзы'' и числа Фибоначчи

Эта задача хороша тем, что в ней можно "поработать руками" — просто взять большой лист клетчатой бумаги, на нём последовательно нарисовать выигрышные и проигрышные позиции, и посмотреть, "что происходит":

Ну или запрячь компьютер — пусть он считает, он железный (ну или кремниевый...) —

а) Становится видно, что проигрышные позиции выстраиваются в две симметричные "цепочки";
б) А ещё поле зрения оказывается заполненным линиями из выигрышных позиций; давайте эти линии спрячем, а оставим только проигрышные позиции и ломаную, которая "верхнюю" цепочку соединяет

в) А ещё видно, что соседние позиции в верхней цепочке отличаются либо на сдвиг на (2,3), либо на сдвиг на (1,2). И на этой картинке первые звенья-сдвиги мы раскрасили красным, а вторые — синим.

А ещё можно их последовательность закодировать, превратив в слово из букв "A" (большой прыжок) и "B" (маленький прыжок). Взяв эту картинку и пройдясь по ней, мы получим —
ABAABABAABAABABAAB +(хвостик торчащего дальше длинного прыжка А)

И...

Видно, что слово одно и то же. А что это за слово?
Это — слово Фибоначчи, а на картинке выше — кусочек из (начинающейся с его определения) статьи "Слова на ленте" в "Квантике".

Это слово получается так: мы начинаем со слова из одной буквы "A", после чего в каждом написанном слове заменяем A на AB, а B на A. Получается последовательность слов
A
AB
ABA
ABAAB
ABAABABA...,
которые все продолжают друг друга — и потому являются началами бесконечного слова; это и есть слово Фибоначчи.

Так вот — то, что слово в задаче о ферзе это слово Фибоначчи, можно понять, просто посмотрев на то, как оно появляется.

Когда у нас идёт верхняя цепочка проигрышных позиций — они последовательно заполняют диагонали, "перепрыгивая" вертикали над уже имеющимися проигрышными позициями на симметричной нижней цепочке.

Давайте будем смотреть, что мы получаем от одного перепрыгивания (включительно) до другого (исключительно), в зависимости от того, через вертикали от каких вершин мы перепрыгивали.

Если мы перепрыгиваем через вертикали на расстоянии 3 (то есть стартующие из проигрышных позиций, симметричных A-звену), то мы делаем один A-прыжок (2,3), перепрыгивая через вертикаль, а потом один B-прыжок (1,2), подходя к следующей вертикали.
А если через вертикали на расстоянии 2 (то есть стартующие из проигрышных позиций, симметричных B-звену), то мы делаем только один A-прыжок (2,3), перепрыгивая через вертикаль, и мы уже вплотную подошли к следующей вертикали.

Вот мы и получили правила замены — А заменяется на AB, а B заменяется на A!

Давайте я закончу этот рассказ — тут совсем немного осталось.
Во-первых, для подстановочного слова есть способ его "считывать" через поворот окружности и то, на какую из двух дуг попадает очередная итерация начальной точки: см. тут+ниже.

Во-вторых, отсюда уже можно увидеть, что "линия" проигрышных позиций в игре "ферзя в угол" идёт под углом наклона, равным золотому сечению. Потому что именно с таким отношением идут буквы A и B в слове Фибоначчи, а применение преобразования "каждое А соответствует сдвигу на (2,3), каждое B — сдвигу на (1,2)" приводит к такому же отношению y:x.

В-третьих, и это отдельно интересно — оказывается, что для проигрышных позиций есть явная формула. И я тут хочу процитировать статью И. В. Арнольда (не Владимира Игоревича — а его отца!), "Об одном свойстве числа τ=(√5 +1)/2", вышедшей в 1936 году в 8 выпуске "Математического просвещения" — ещё первой серии этих сборников!