С Новым Годом!

На N+1 — новогодняя подборка очень красивых погружений в множество Мандельброта с нашим с Ильёй Щуровым комментарием:
https://nplus1.ru/material/2021/12/28/flight

https://mccme.ru/memoria/vda/V_D_Arnold.pdf

Виталий Дмитриевич Арнольд (текст А.В.Хачатуряна в МатПросвещении)

Пара дополнительных ссылок:

https://quyse.itch.io/dual-fractal — очень быстрая и удобная рисовалка (обратите внимание на инструкции внизу — множество Жюлиа меняется не по клику на стороне множества Мандельброта, а по наведению мышки с нажатием Ctrl; зато можно зажать кнопку Ctrl и смотреть, как множество Жюлиа меняется при изменении параметра).

https://sunandstuff.com/mandelbrot/about/ — хороший комментарий (language warning: с использованием слова из четырёх букв на букву "ж" 🙂 )

Как пример похожести множеств Мандельброта и Жюлиа под увеличением —

На этой лекции В. И. Арнольда я присутствовал, тогда ещё школьником-одиннадцатиклассником. И часто её вспоминаю одновременно как сильно на меня повлиявшую и как прекрасный пример "задела на будущее": далеко не всё я тогда понял, но что-то запомнилось "выстрелило" позже, а что-то просто заинтересовало "на посмотреть и разобраться"...

лекция В.И.Арнольда про таинственные математические троицы (НМУ, 1997 год)

В.И.Арнольд. Таинственные математические троицы

«Я постараюсь рассказать о некоторых удивляющих меня явлениях в математике. (…) Речь пойдёт об определённых наблюдениях, которые приводят к очень большому числу теорем и гипотез (…). Но интерес, который они представляют, состоит в общей точке зрения…»

А ещё из тех же "Студенческих чтений" (https://www.mccme.ru/ium/stcht.html ) мне запомнились лекции Манина и Кириллова (кстати — прямо сейчас я слушаю доклад со словами "Пенлеве").
И вообще — записки "Студенческих чтений" (https://www.mccme.ru/free-books/globus/iumlectures1.pdf + https://www.mccme.ru/free-books/globus/globus1.pdf + ...), мне кажется, очень стоит почитать (кстати — они лежат на той самой странице free-books, о которой Дед Мороз недавно напоминал).

Есть такая задача:
На шахматной доске на поле c1 стоит ферзь. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле h8. Кто выигрывает при правильной игре?
(Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки.)

Понятно, как она решается — стандартной техникой выигрышных/проигрышных позиций. Если ферзь уже стоит в углу h8, то начинающий проиграл. Все клетки, из которых в h8 можно попасть за один ход — выигрышные, нужно просто взять и на это поле h8 пойти:

Теперь — если при ходе начинающего ферзь стоит на одном из полей g6 и f7, то пойти можно только на выигрышные (для ходящего с них) позиции, то есть отдать победу противнику. Значит, они для начинающего проигрышные:

Поэтому с любого из полей, куда можно туда пойти — надо туда ходить и выигрывать:

Значит, e3 и c5 проигрышные, ну а те, откуда на них можно пойти — выигрышные:

Ну и разбор на доске 8x8 завершается тем, что клетки d1 и a4 проигрышные:

И ответ на исходный вопрос задачи — выигрывает начинающий, любым из ходов на c5, d1 или e3.

Но — а что, если доска будет большего размера?
Давайте только, для удобства рисования, перевернём доску — пусть ферзь идёт в левый нижний угол. То есть — разрешено его двигать влево, вниз, и по диагонали влево-вниз.

Если пронумеровать строки и столбцы, начиная с 0, то эта игра оказывается эквивалентной игре цзяньшицзы: есть две кучки камней, за один ход можно взять сколько угодно камней из одной из кучек или поровну из обеих; кто не может сделать ход, проиграл (или — побеждает тот, кто взял последний камень).

И вот статья о ней в "Кванте" в 1984 году:
Матулис А., Савукинас А., Ферзя — в угол, ``цзяньшицзы'' и числа Фибоначчи

Эта задача хороша тем, что в ней можно "поработать руками" — просто взять большой лист клетчатой бумаги, на нём последовательно нарисовать выигрышные и проигрышные позиции, и посмотреть, "что происходит":

Ну или запрячь компьютер — пусть он считает, он железный (ну или кремниевый...) —

а) Становится видно, что проигрышные позиции выстраиваются в две симметричные "цепочки";
б) А ещё поле зрения оказывается заполненным линиями из выигрышных позиций; давайте эти линии спрячем, а оставим только проигрышные позиции и ломаную, которая "верхнюю" цепочку соединяет

в) А ещё видно, что соседние позиции в верхней цепочке отличаются либо на сдвиг на (2,3), либо на сдвиг на (1,2). И на этой картинке первые звенья-сдвиги мы раскрасили красным, а вторые — синим.

А ещё можно их последовательность закодировать, превратив в слово из букв "A" (большой прыжок) и "B" (маленький прыжок). Взяв эту картинку и пройдясь по ней, мы получим —
ABAABABAABAABABAAB +(хвостик торчащего дальше длинного прыжка А)

И...