- Радиальное слоение. Можно на плоскости после складывания взять не нарезку на параллельные прямые, а нарезку на прямые, проходящие через вершину треугольника. И, опять-таки, взять у них прообраз:
Всё ещё получается (особое) слоение — раз на плоскости после складывания они, кроме как в вершине, не пересекались, то и про прообразы то же самое можно сказать.
Инструмент второй — символическая динамика: можно записывать/кодировать буквами a,b,c, какие именно стороны треугольников пересекает траектория:
(А вот — картинка даже для случая четырёхугольника, там уже a,b,c,d)
Ну вот с их помощью (уже не буду говорить, как) теорему о запрещённых цветках — а через неё и теорему о дереве — Ольга и доказывает.
А вот мультфильм с визуализацией этого, который был показан под конец лекции. Теперь вы знаете всё, что там появляется:
https://www.youtube.com/watch?v=t1r1cO1V35I
https://www.youtube.com/watch?v=t1r1cO1V35I
YouTube
Refraction Tilings
When a ray of light passes from one medium to another it changes its direction, where the change depends on both of the materials. Such a system, where the new direction is the mirror image of the original direction, produces very interesting dynamical systems…
И последний, ещё наглядный, но уже более сложный аккорд — это сложность траекторий.
Математические байки
Во-первых, бывают более сложные периодические траектории. И бывают траектории, линейно убегающие на бесконечность — периодичным или даже не-периодичным (с учётом сдвига) образом.
Вот мы видели периодические и линейно убегающие на бесконечность траектории. А что-нибудь ещё бывает? И насколько сложными бывают периодические траектории? И каким может быть набор всех траекторий для данного треугольного паркета?
Всё зависит от того, из каких именно треугольников собран паркет:
Для некоторых (например, для правильного) — периодичны все траектории.
Для некоторых — часть траекторий периодична, а часть убегает на бесконечность с линейной скоростью.
А есть — очень хитрые: для них (почти все) траектории, которые проходят через центр описанной окружности, посещают (либо в прошлом, либо в будущем) все вообще плитки. То есть это убегание на бесконечность, но гораздо более медленное. А не-проходящие — периодичны, но чем ближе траектория к проходящей через центр, тем больше у неё период.
Более того, эти периоды — удвоенные элементы последовательности Трибоначчи (1,1,1,3, следующее = сумма трёх предыдущих, так что получается
1,1,1,3,5,9,17,...).
2*1, правда, не бывает, зато бывает остальное — 2*3=6, 2*5=10,...
Более того, эти периоды — удвоенные элементы последовательности Трибоначчи (1,1,1,3, следующее = сумма трёх предыдущих, так что получается
1,1,1,3,5,9,17,...).
2*1, правда, не бывает, зато бывает остальное — 2*3=6, 2*5=10,...