Ух ты!!!

https://arxiv.org/abs/2303.10798
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/

D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan, C.Goodman-Strauss пишут, что нашли одну плитку, которой можно замостить плоскость, но только апериодически

Нью-Йоркский музей математики (MoMath) выложил видео, где про эту работу (и то, как они до этого дошли) рассказывают два из четырёх её авторов, Craig S. Kaplan и Chaim Goodman-Strauss:
https://www.youtube.com/watch?v=FkZPMf73qYc
Очень классное!

Тем временем, ChatGPT прекрасно справляется с задачами ММО

Коллеги посмотрели, что будет, если дать GPT4 задачи с ММО. Первый результат интересен, но « в пределах ожидаемого »: задача, пусть и с параметром, но с шагами, естественно связанными с формулировкой. Хотя формулировка « касательные к графикам перпендикулярны, если их коэффициенты наклона обратны с изменением знака », « tangents are perpendicular if their slopes are negative reciprocals », конечно, уже… внушает.

А вот это — совсем дааа….

Ну ладно... если вас это не убедит...

В задаче говорится про конфеты и корни квадратных уравнений. GPT4 переходит к дискриминантам (ладно, это стандартный шаг в смысле корпуса текстов, так что это неудивительно), замечает, что дискриминанты разбиваются на пары одинаковых, и пишет, « the last remaining discriminant must be non-negative to maintain an even number of non-negative discriminants ».

Вот тут у меня слова заканчиваются...

Есть такая задача: на плоскости отмечено n красных и n синих точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Всегда ли их можно разбить на (красно-синие) пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались друг с другом?

https://youtu.be/Y0aOxj5lrKY

сегодняшние картинки по выходным — про то, что на эллиптических колёсах очень удобно ездить по синусоиде

ранее на близкие темы: https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/3966 про квадратные колёса

Вдогонку к этому ролику, П. Пушкарь вчера спросил — а можно ли увидеть, что эллипс катится по синусоиде, через сечение цилиндра? Ведь в сечении цилиндра получается эллипс, а если развернуть поверхность цилиндра, то получается синусоида!

(кадр из видео « Синусоида: развёртка цилиндра », Математические этюды)

И — да, можно. Действительно, давайте катить эллипс-сечение по синусоиде, получающейся из развёртки цилиндра (оболочки колбасы), и начнём так, чтобы они касались в точках, которые соответствовали друг другу до того, как мы цилиндр развернули. Тогда и в любой момент они будут продолжать касаться в соответствующих точках — потому что участки синусоиды и эллипса были просто приложены друг к другу.

(Картинка — разворачиваем цилиндр в синусоиду, из того же видео Математических Этюдов)

Так вот: почему фокус будет двигаться горизонтально? Раз мы знаем, что касание всегда будет в соответствовавших друг другу точках на сечении и на границе, то можно просто для каждой из точек эллипса-сечения разворачивать его вертикально вокруг касательной в этой точке.

Давайте вспомним, как доказывается, что сечение цилиндра (или кругового конуса) это эллипс. С двух сторон в цилиндр закидываются равные ему по радиусу сферы (сферы Данделена) — до касания с секущей плоскостью. Точки их касания с плоскостью — это и будут фокусы эллипса.
И тогда расстояние от фокуса-точки касания F до любой точки X сечения это длина касательной из X к сфере — и потому равно длине любой другой касательной из X к сфере, в частности, вертикальной. А это часть вертикального отрезка до горизонтальной окружности, по которой сфера касается цилиндра.

(картинка из « Сфер Данделена », Математические Этюды)

Из другого фокуса F’ расстояние до X из таких же соображений будет равно расстоянию от X до горизонтальной окружности, по которой касается другая сфера. А значит, их сумма равна просто расстоянию между этими горизонтальными окружностями, которое всегда одно и то же!

Так вот — мы будем поворачивать эллипс-сечение вокруг касательной к одной из точек, пока он не станет вертикальным. И это всё равно, что отразить его относительно плоскости, проходящей через эту касательную плоскость и центр одной из двух касающихся сфер.

Так вот — при таком отражении фокус-точка касания как раз переходит в точку касания на горизонтальной окружности (а линия к ней становится вертикальной). Вот мы и видим, что ось в фокусе движется по горизонтали.

Наконец, можно одновременно запустить два эллиптических колеса, одно, едущее над синусоидой, а другое — под.
Можно их заставить ехать так, чтобы точка касания у них оставалась одной и той же — и отрезок, соединяющий соответствующие фокусы, будет оставаться вертикальным.

И если из предыдущей картинки синусоиду убрать — то получатся два равных эллипса, катящихся один по другому. А это буквально то, про что коллеги писали!

https://twitter.com/i/status/1430777572787462152

еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют