Нью-Йоркский музей математики (MoMath) выложил видео, где про эту работу (и то, как они до этого дошли) рассказывают два из четырёх её авторов, Craig S. Kaplan и Chaim Goodman-Strauss:
https://www.youtube.com/watch?v=FkZPMf73qYc
Очень классное!

Тем временем, ChatGPT прекрасно справляется с задачами ММО

Коллеги посмотрели, что будет, если дать GPT4 задачи с ММО. Первый результат интересен, но « в пределах ожидаемого »: задача, пусть и с параметром, но с шагами, естественно связанными с формулировкой. Хотя формулировка « касательные к графикам перпендикулярны, если их коэффициенты наклона обратны с изменением знака », « tangents are perpendicular if their slopes are negative reciprocals », конечно, уже… внушает.

А вот это — совсем дааа….

Ну ладно... если вас это не убедит...

В задаче говорится про конфеты и корни квадратных уравнений. GPT4 переходит к дискриминантам (ладно, это стандартный шаг в смысле корпуса текстов, так что это неудивительно), замечает, что дискриминанты разбиваются на пары одинаковых, и пишет, « the last remaining discriminant must be non-negative to maintain an even number of non-negative discriminants ».

Вот тут у меня слова заканчиваются...

Есть такая задача: на плоскости отмечено n красных и n синих точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Всегда ли их можно разбить на (красно-синие) пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались друг с другом?

https://youtu.be/Y0aOxj5lrKY

сегодняшние картинки по выходным — про то, что на эллиптических колёсах очень удобно ездить по синусоиде

ранее на близкие темы: https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/3966 про квадратные колёса

Вдогонку к этому ролику, П. Пушкарь вчера спросил — а можно ли увидеть, что эллипс катится по синусоиде, через сечение цилиндра? Ведь в сечении цилиндра получается эллипс, а если развернуть поверхность цилиндра, то получается синусоида!

(кадр из видео « Синусоида: развёртка цилиндра », Математические этюды)

И — да, можно. Действительно, давайте катить эллипс-сечение по синусоиде, получающейся из развёртки цилиндра (оболочки колбасы), и начнём так, чтобы они касались в точках, которые соответствовали друг другу до того, как мы цилиндр развернули. Тогда и в любой момент они будут продолжать касаться в соответствующих точках — потому что участки синусоиды и эллипса были просто приложены друг к другу.

(Картинка — разворачиваем цилиндр в синусоиду, из того же видео Математических Этюдов)

Так вот: почему фокус будет двигаться горизонтально? Раз мы знаем, что касание всегда будет в соответствовавших друг другу точках на сечении и на границе, то можно просто для каждой из точек эллипса-сечения разворачивать его вертикально вокруг касательной в этой точке.

Давайте вспомним, как доказывается, что сечение цилиндра (или кругового конуса) это эллипс. С двух сторон в цилиндр закидываются равные ему по радиусу сферы (сферы Данделена) — до касания с секущей плоскостью. Точки их касания с плоскостью — это и будут фокусы эллипса.
И тогда расстояние от фокуса-точки касания F до любой точки X сечения это длина касательной из X к сфере — и потому равно длине любой другой касательной из X к сфере, в частности, вертикальной. А это часть вертикального отрезка до горизонтальной окружности, по которой сфера касается цилиндра.

(картинка из « Сфер Данделена », Математические Этюды)

Из другого фокуса F’ расстояние до X из таких же соображений будет равно расстоянию от X до горизонтальной окружности, по которой касается другая сфера. А значит, их сумма равна просто расстоянию между этими горизонтальными окружностями, которое всегда одно и то же!

Так вот — мы будем поворачивать эллипс-сечение вокруг касательной к одной из точек, пока он не станет вертикальным. И это всё равно, что отразить его относительно плоскости, проходящей через эту касательную плоскость и центр одной из двух касающихся сфер.

Так вот — при таком отражении фокус-точка касания как раз переходит в точку касания на горизонтальной окружности (а линия к ней становится вертикальной). Вот мы и видим, что ось в фокусе движется по горизонтали.

Наконец, можно одновременно запустить два эллиптических колеса, одно, едущее над синусоидой, а другое — под.
Можно их заставить ехать так, чтобы точка касания у них оставалась одной и той же — и отрезок, соединяющий соответствующие фокусы, будет оставаться вертикальным.

И если из предыдущей картинки синусоиду убрать — то получатся два равных эллипса, катящихся один по другому. А это буквально то, про что коллеги писали!

https://twitter.com/i/status/1430777572787462152

еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют

https://nplus1.ru/material/2023/04/12/diagonal-ramsey

«В комбинаторике прямо сейчас происходит много весьма интересных событий, это одна из самых бурно развивающихся областей математики. Но среди них отдельно выделяется новая работа Марсело Кампоса, Саймона Гриффитса, Роберта Морриса (Рио-де-Жанейро) и Джулиана Сахасрабуде (Кембридж), посвященная оценке чисел Рамсея. В чем с этими числами проблема и как ее недавно решили, рассказывает математик Фёдор Петров, профессор СПбГУ и ведущий научный сотрудник ПОМИ РАН.»

// ранее на ту же тему: https://news.1rj.ru/str/cme_channel/3151

Давайте я вот к этому добавлю небольшой комментарий. Вот есть числа Рамсея R(k,l): сколько человек нужно взять, чтобы среди них обязательно нашлось или k попарно знакомых, или l попарно незнакомых. И есть стандартная оценка
R(k,l) < 2^{k+l},
доказываемая просто по индукции (ибо R(k,l) <= R(k-1,l)+R(k,l-1) ).

Так вот — более простая версия конструкции из той работы позволяет легко получить эту же оценку. Авторы следят за четырьмя множествами — A, B, X и Y. Давайте вместо этого следить только за тремя: A, B и X. Потребуем, чтобы в любой момент выполнялись « свойства книг »:
- все люди из A попарно знакомы и знакомы во всеми из X;
- все люди из B попарно незнакомы и незнакомы во всеми из X.

Начнём с пустых A и B, а в X поместим всю компанию из 2^{k+l} человек.
И шаг за шагом делаем следующее:
- берём произвольного человека x из X;
- смотрим, кого у него больше в X, знакомых или незнакомых;
- если знакомых — добавляем его в A и оставляем в X только его знакомых (остальных убираем)
- если незнакомых — добавляем его в B и оставляем в X только его незнакомых (остальных убираем).

Каждый шаг уменьшает количество человек в X не больше, чем вдвое. А пока в X есть хоть кто-нибудь, мы можем продолжать.
За k+l-1 шаг или в A соберутся k человек, или в B — l человек. Вот и всё.

Так что — уже такая « детская версия » конструкции авторов с тремя множествами позволяет получить оценку в 2^{k+l}. После чего то, что более аккуратный подход позволит от экспоненты « чуть-чуть » откусить, уже не кажется невероятным (но и обещать заранее такого нельзя, конечно; то, что я тут написал, это скорее первые 5-10% процентов понимания).