Plane partitions in the work of Richard Stanley and his school

C. Krattenthaler

These notes provide a survey of the theory of plane partitions, seen through the glasses of the work of Richard Stanley and his school.

Отличный доступный обзор об истории плоских разбиений (plane partitions)

пусть здесь будет такая цитата, например:

Why were plane partitions so fascinating for MacMahon, and for legions of followers? From his writings, it is clear that MacMahon did not have any external motivation to consider these objects, nor did he have any second thoughts. For him it was obvious that these plane partitions are very natural, as two-dimensional analogues of (linear) partitions (for which at the time already a well established theory was available), and as such of intrinsic interest. Moreover, this intuition was “confirmed” by the extremely elegant product formula in Theorem 1 below. He himself — conjecturally — found another intriguing product formula for so-called “symmetric” plane partitions contained in a given box (…). Later many more such formulae were found (again, first conjecturally, and some of them still quite mysterious …). Moreover, over time it turned out that plane partitions (and rhombus tilings) are related to many other areas of mathematics, most notably to the theory of symmetric functions and representation theory of classical groups (…), representation theory of quantum groups (…), enumeration of integer points in polytopes and commutative algebra (…), enumeration of matchings in graphs (…), and to statistical physics (…).

Картинка с лекции Г. Мерзона прямо сейчас: четырёхшарнирное рассуждение Штейнера для изопериметрической задачи. Почему кривая данной длины, ограничивающая максимальную площадь — окружность?
(шаг 1) она выпуклая;
(шаг 2) соображения симметрии — любой отрезок, делящий периметр пополам, делит пополам и площадь, иначе достраиваем большую половину симметрично;
!! (шаг 3) четырёхшарнирное рассуждение: такой отрезок должен быть виден под углом в 90 градусов из любой точки границы. Потому что если нет — достроив вторую половину центрально-симметрично, можно увидеть параллелограмм. После чего можно считаем, что кусочки границы, опирающиеся на эти кусочки, жёсткие, а в этих точках шарниры. Но шарнирный параллелограмм можно превратить в прямоугольник, увеличив его площадь — а площади "сегментов" при этом не поменяются, так что общая площадь фигуры вырастет.

(Плюс соображения компактности — чтобы фигура наибольшей площади нашлась.)

Картинка из ещё одного рассуждения для изопериметрического неравенства для многоугольников — и для любимой мной формулы для площади r-окрестности выпуклого многоугольника,
S(r) = πr^2 + L*r + S.

Изопериметрическое неравенство состоит в том, что дискриминант этого квадратного трёхчлена неотрицателен,
L^2 - 4π S >= 0.

А дальше — разными способами работая с отрицательными (!) r — либо доопределив фигуру и работая с ориентированными площадью и периметром, или двигая стороны-стенки внутрь и грубо "обрубая" (и получая неравенство на дискриминант), можно доказать, что S(r) и впрямь где-то в области r<0 обращается в ноль.

Вот этих рассуждений я не знал!

https://geometry.ru/ad_70.html

Александру Давидовичу Блинкову исполняется 70 лет

по этому поводу в субботу (16.12) в МЦНМО будет “праздничный методический семинар учителей математики” (выступят П.В.Чулков, Ю.А.Блинков, К.М.Столбов, И.А.Эльман, Н.П.Стрелкова, Д.В.Прокопенко, Ю.М.Эдлин)

приглашаются, как обычно, все желающие (организаторы просят только зарегистрироваться); подробности по ссылке

Антипараллелограмм — плоский невыпуклый самопересекающийся четырёхугольник, в котором каждая сторона равна противоположной, но не параллельна ей, в отличие от параллелограмма.

Шарнирный антипараллелограмм – конструкция изгибаемая. Нарисуем всевозможные положения оси симметрии антипараллелограмма при его изгибании.

Первый случай: закреплённой, неподвижной является короткая сторона антипараллелограмма. Тогда кривая, огибающая всевозможные положения оси симметрии, является эллипсом https://zadachi.mccme.ru/antipar/antipar2.html . На самом деле это другой взгляд на сюжет «Качение эллипсов» https://etudes.ru/models/conic-sections-ellipse-gears/ .

Второй случай: неподвижной является длинная сторона антипараллелограмма. Огибающей всевозможных положений оси симметрии антипараллелограмма является… гипербола https://zadachi.mccme.ru/antipar/antipar1.html

На указанных страницах ползунок отвечает за соотношение длин сторон у антипараллелограмма. А заинтересовавшиеся приглашаются на семинар учителей https://mccme.ru/nir/seminar/ , где обсудим подробнее и эту тему.

https://twitter.com/i/status/1430777572787462152

еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют

#математика

Есть такие задачки, решение которых не требует знания сложных теорем, но требует определенной гибкости ума и интеллектуальной настойчивости, — они вызывают азарт и доставляют немалое удовольствие в процессе и по факту их решения )).

Сегодня опубликовали новый ролик с одной такой задачкой:

«По морю с постоянными скоростями прямыми непараллельными курсами идут четыре корабля. Известно, что три из них попарно встретились в море. Известно также, что четвёртый корабль встретился сначала с первым, а потом со вторым кораблём. Докажите, что он обязательно встретится, или встретился раньше, также и с третьим кораблём».

Чтобы задачку решить практически в уме, нужно перейти от плоских траекторий кораблей к их мировым линиям в трехмерном (в данном случае) пространстве, у которого «в основании» — плоскость, в которой движутся корабли, а «по вертикальной оси» — время.

Отличие мировых линий от траекторий в том, что из пересечения траекторий вовсе не следует встреча кораблей, а из пересечения мировых линий — следует.

Чтобы не лишать вас удовольствия, не будем здесь приводить полное решение — его можно найти в ролике.

Более сложный вопрос, над котором предлагаем подумать, такой: справедливо ли утверждение задачи в случае движения кораблей не по плоскости, а по поверхности сферы?

P.S. Кажется, что такого рода задачки (не важно по физике или по математике, важно что у них есть изящное и нетрудоемкое решение, если чуточку подумать) — очень важная составляющая любой хорошей системы обучения. Они привносят в процесс элемент игры.

картинки по выходным: парабола на клетчатом полу… и она же окружность

// src: https://mathstodon.xyz/@diffgeom/