Картинка с лекции Г. Мерзона прямо сейчас: четырёхшарнирное рассуждение Штейнера для изопериметрической задачи. Почему кривая данной длины, ограничивающая максимальную площадь — окружность?
(шаг 1) она выпуклая;
(шаг 2) соображения симметрии — любой отрезок, делящий периметр пополам, делит пополам и площадь, иначе достраиваем большую половину симметрично;
!! (шаг 3) четырёхшарнирное рассуждение: такой отрезок должен быть виден под углом в 90 градусов из любой точки границы. Потому что если нет — достроив вторую половину центрально-симметрично, можно увидеть параллелограмм. После чего можно считаем, что кусочки границы, опирающиеся на эти кусочки, жёсткие, а в этих точках шарниры. Но шарнирный параллелограмм можно превратить в прямоугольник, увеличив его площадь — а площади "сегментов" при этом не поменяются, так что общая площадь фигуры вырастет.

(Плюс соображения компактности — чтобы фигура наибольшей площади нашлась.)

Картинка из ещё одного рассуждения для изопериметрического неравенства для многоугольников — и для любимой мной формулы для площади r-окрестности выпуклого многоугольника,
S(r) = πr^2 + L*r + S.

Изопериметрическое неравенство состоит в том, что дискриминант этого квадратного трёхчлена неотрицателен,
L^2 - 4π S >= 0.

А дальше — разными способами работая с отрицательными (!) r — либо доопределив фигуру и работая с ориентированными площадью и периметром, или двигая стороны-стенки внутрь и грубо "обрубая" (и получая неравенство на дискриминант), можно доказать, что S(r) и впрямь где-то в области r<0 обращается в ноль.

Вот этих рассуждений я не знал!

https://geometry.ru/ad_70.html

Александру Давидовичу Блинкову исполняется 70 лет

по этому поводу в субботу (16.12) в МЦНМО будет “праздничный методический семинар учителей математики” (выступят П.В.Чулков, Ю.А.Блинков, К.М.Столбов, И.А.Эльман, Н.П.Стрелкова, Д.В.Прокопенко, Ю.М.Эдлин)

приглашаются, как обычно, все желающие (организаторы просят только зарегистрироваться); подробности по ссылке

Антипараллелограмм — плоский невыпуклый самопересекающийся четырёхугольник, в котором каждая сторона равна противоположной, но не параллельна ей, в отличие от параллелограмма.

Шарнирный антипараллелограмм – конструкция изгибаемая. Нарисуем всевозможные положения оси симметрии антипараллелограмма при его изгибании.

Первый случай: закреплённой, неподвижной является короткая сторона антипараллелограмма. Тогда кривая, огибающая всевозможные положения оси симметрии, является эллипсом https://zadachi.mccme.ru/antipar/antipar2.html . На самом деле это другой взгляд на сюжет «Качение эллипсов» https://etudes.ru/models/conic-sections-ellipse-gears/ .

Второй случай: неподвижной является длинная сторона антипараллелограмма. Огибающей всевозможных положений оси симметрии антипараллелограмма является… гипербола https://zadachi.mccme.ru/antipar/antipar1.html

На указанных страницах ползунок отвечает за соотношение длин сторон у антипараллелограмма. А заинтересовавшиеся приглашаются на семинар учителей https://mccme.ru/nir/seminar/ , где обсудим подробнее и эту тему.

https://twitter.com/i/status/1430777572787462152

еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют

#математика

Есть такие задачки, решение которых не требует знания сложных теорем, но требует определенной гибкости ума и интеллектуальной настойчивости, — они вызывают азарт и доставляют немалое удовольствие в процессе и по факту их решения )).

Сегодня опубликовали новый ролик с одной такой задачкой:

«По морю с постоянными скоростями прямыми непараллельными курсами идут четыре корабля. Известно, что три из них попарно встретились в море. Известно также, что четвёртый корабль встретился сначала с первым, а потом со вторым кораблём. Докажите, что он обязательно встретится, или встретился раньше, также и с третьим кораблём».

Чтобы задачку решить практически в уме, нужно перейти от плоских траекторий кораблей к их мировым линиям в трехмерном (в данном случае) пространстве, у которого «в основании» — плоскость, в которой движутся корабли, а «по вертикальной оси» — время.

Отличие мировых линий от траекторий в том, что из пересечения траекторий вовсе не следует встреча кораблей, а из пересечения мировых линий — следует.

Чтобы не лишать вас удовольствия, не будем здесь приводить полное решение — его можно найти в ролике.

Более сложный вопрос, над котором предлагаем подумать, такой: справедливо ли утверждение задачи в случае движения кораблей не по плоскости, а по поверхности сферы?

P.S. Кажется, что такого рода задачки (не важно по физике или по математике, важно что у них есть изящное и нетрудоемкое решение, если чуточку подумать) — очень важная составляющая любой хорошей системы обучения. Они привносят в процесс элемент игры.

картинки по выходным: парабола на клетчатом полу… и она же окружность

// src: https://mathstodon.xyz/@diffgeom/

>>
электрон тетраэдр так же неисчерпаем, как атом треугольник (Ленин Руденко).
>>

Даня Руденко занимался алгебраической геометрией, и по ходу открыл новое тождество для тетраэдров (по ссылке вполне mesmerizing story об этом). После долгих поисков он обнаружил похожее тождество в старинном журнале The Educational Times.

Потом он же сотоварищи сделал сайт с геометрическими задачками из старых журналов.

На сайте тысячи старинных задач с прикрученным поиском. Красота! Практически склеил двух столетий позвонки (в хорошем смысле).

Если есть предложения как улучшить сайт с задачами: предлагайте!

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг (21.12) последний в этом году семинар учителей математики

Николай Андреев и друзья. Геометрия: шарнирные механизмы; особенности; картография; модели сезона-2023

как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие