Forwarded from Геометрия-канал (Fedor)
С днём Пи (14 марта, 3/14)!
https://youtu.be/d-o3eB9sfls?si=hJrUVLxXrgUiUfIu
https://youtu.be/d-o3eB9sfls?si=hJrUVLxXrgUiUfIu
YouTube
Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem
A most beautiful proof of the Basel problem, using light.
Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown
An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.
Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/basel-thanks…
Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown
An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.
Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/basel-thanks…
Математические байки
Если вернуться к исходному условию — то, как и положено, Иван-дурак может выиграть. И тут есть разные решения. Способ 1, неконструктивный. Можно для каждого n задаться вопросом — а сколько вообще мелодий длины n (без запрещённых подслов) он может сыграть?…
Давайте чуть-чуть продолжим про Кощея?
Так вот — похожее решение получается, если, уже придя к соотношению (*) выше,
L_{n+1} >= 2L_n - L_{n-4} - L_{n-5} - L_{n-6} -…,
начать доказывать нижнюю оценку на рост числа L_n разрешённых мелодий длины n, что
L_{n+1} >= L_n + L_{n-1}. (**)
(С той логикой, что последовательность явно будет расти медленнее, чем геометрическая со знаменателем 2, ну и Фибоначчи-подобный рост вполне хороший кандидат на попробовать…)
Доказывать — по индукции по всем меньшим значениям n. А именно: мы хотим проверить, что
L_{n+1} - L_n - L_{n-1} >=0.
А из (*) следует, что эта разность не меньше
L_n-L_{n-1}-L_{n-4}-L_{n-5}-L_{n-6}-….
Первая разность L_{n}-L_{n-1} не меньше L_{n-2} по предположению индукции. Осталось
L_{n-2}-L_{n-4}-L_{n-5}-L_{n-6}-… .
Теперь подчёркнутая разность L_{n-2}-L_{n-4} не меньше L_{n-3} по предположению индукции. Осталось
L_{n-3}-L_{n-5}-L_{n-6}-L_{n-7}… .
Теперь подчёркнутая разность L_{n-3}-L_{n-5} не меньше L_{n-4} по предположению индукции. Осталось
L_{n-4}-L_{n-6}-L_{n-7}-L_{n-8}… .
Теперь подчёркнутая разность L_{n-4}-L_{n-6} не меньше L_{n-5} по предположению индукции. Ну и так далее.
(Именно это решение рассказывали на видео-разборе; картинка-скриншот оттуда.)
Так вот — похожее решение получается, если, уже придя к соотношению (*) выше,
L_{n+1} >= 2L_n - L_{n-4} - L_{n-5} - L_{n-6} -…,
начать доказывать нижнюю оценку на рост числа L_n разрешённых мелодий длины n, что
L_{n+1} >= L_n + L_{n-1}. (**)
(С той логикой, что последовательность явно будет расти медленнее, чем геометрическая со знаменателем 2, ну и Фибоначчи-подобный рост вполне хороший кандидат на попробовать…)
Доказывать — по индукции по всем меньшим значениям n. А именно: мы хотим проверить, что
L_{n+1} - L_n - L_{n-1} >=0.
А из (*) следует, что эта разность не меньше
L_n-L_{n-1}-L_{n-4}-L_{n-5}-L_{n-6}-….
Первая разность L_{n}-L_{n-1} не меньше L_{n-2} по предположению индукции. Осталось
L_{n-2}-L_{n-4}-L_{n-5}-L_{n-6}-… .
Теперь подчёркнутая разность L_{n-2}-L_{n-4} не меньше L_{n-3} по предположению индукции. Осталось
L_{n-3}-L_{n-5}-L_{n-6}-L_{n-7}… .
Теперь подчёркнутая разность L_{n-3}-L_{n-5} не меньше L_{n-4} по предположению индукции. Осталось
L_{n-4}-L_{n-6}-L_{n-7}-L_{n-8}… .
Теперь подчёркнутая разность L_{n-4}-L_{n-6} не меньше L_{n-5} по предположению индукции. Ну и так далее.
(Именно это решение рассказывали на видео-разборе; картинка-скриншот оттуда.)
Математические байки
Ещё другой способ рассуждать — удивительным образом, приводящий к такому же неравенству (и у меня нет этому хорошего объяснения).
Прошлое решение было неконструктивным — мы посчитали разрешённые последовательности длины n, и выяснили, что их число всегда положительно (и даже быстро растёт). Но это не позволяет ответить на вопрос «а как же Ивану играть» (ну, если исключить рекомендации вида «ну, обходи дерево мелодий, рано или поздно на разрешённую наткнёшься»).
Давайте представим себе Ивана, играющего мелодию ноту за нотой. Ему нужно решить — какую ноту играть следующей?
Логично, что Иван не хочет проиграть, сыграв одну из запретных мелодий. И логично, что он следит за тем, какие ноты ему сейчас опасно играть: если последние сыгранные 13 нот это первые 13 из запретной мелодии длины 15 — то ему, конечно, было бы логично следующей нотой сыграть не ту, которая идёт 14-й в запретной мелодии. А как бы это устроить?
Давайте измерять «опасность», происходящую от ситуации «ещё вот эти k нот сыграть приводит к проигрышу», величиной a^k, где a — некоторая константа, 0<a<1.
Теперь рассмотрим сумму всех опасностей: для каждого запрета и для каждого способа этот запрет «приложить» к уже сыгранной мелодии, если остаётся ещё k нот, возьмём величину a^k и все такие величины сложим. Обозначим эту сумму для сыгранной мелодии w через S(w).
Теперь пусть Иван на каждом шаге выбирает ту ноту j, после которой сумма опасностей S(wj) оказывается наименьшей. Если эта сумма опасностей каждый раз оказывается меньше 1 (соответствующей пустому слову, a^0) — значит, ни одна запретная мелодия не сыграна, и Иван выигрывает.
Давайте оценим среднее арифметическое того, что мы получаем, сыграв каждую из возможных нот — понятно, что наименьшая сумма будет меньше среднего. Кстати, это рассуждение (как и первое) работает не только для двух нот, но и для произвольного алфавита из d нот.
Так вот — посмотрим на сумму опасностей S(wj) по всем нотам j. Во-первых, каждый хвостик запрета, если мы сыграем ту ноту j, с которой он начинается, становится на одну ноту короче, а если (любую) другую, то исчезает. Так что в итоге тут сумма поделится на a.
Во-вторых, в каждом запрете мы можем сыграть первую ноту. Итого — сумма a^{|u|} по всем запретам u, опять же, делённая на a, потому что первая нота уже сыграна.
Итого
\sum_j S(wj) <= (S(w) + \sum_u a^{|u|}) / a.
Это — просто сумма. Значит, для среднего арифметического
(1/n) \sum_j S(wj) <= (S(w) + \sum_u a^{|u|}) / (da).
Так что найдётся нота j, для которой
S(wj) <= (S(w) + \sum_u a^{|u|}) / (da).
Остаётся выяснить, что мы не «перепрыгнем» через 1 — точнее, найти, при каком условии это можно гарантировать. Оценка на новое значение S(wj) линейно (и потому монотонно) зависит от старого, так что достаточно посмотреть, что 1 переходит в значение, меньшее 1, то есть что
1 < (1+\sum_u a^{|u|}) / (da).
Домножим на na, перенесём 1 в другую часть, получаем
\sum_u a^{|u|} < da -1. (***)
Так вот — на самом деле, (***) это то же самое неравенство, которое мы видели раньше, когда оценивали рост числа последовательностей L_n,
d - \sum_u c^{-(|u|-1)} >= c,
только написанное в терминах a=1/c и поделенное на a.
И достаточно предъявить одно a, для которого для длин запретов, установленных Кощеем (по одной мелодии длин 5,6,…), оно будет выполнено — и это даёт Ивану явный (и довольно эффективный) алгоритм, как играть сколь угодно долго.
Прошлое решение было неконструктивным — мы посчитали разрешённые последовательности длины n, и выяснили, что их число всегда положительно (и даже быстро растёт). Но это не позволяет ответить на вопрос «а как же Ивану играть» (ну, если исключить рекомендации вида «ну, обходи дерево мелодий, рано или поздно на разрешённую наткнёшься»).
Давайте представим себе Ивана, играющего мелодию ноту за нотой. Ему нужно решить — какую ноту играть следующей?
Логично, что Иван не хочет проиграть, сыграв одну из запретных мелодий. И логично, что он следит за тем, какие ноты ему сейчас опасно играть: если последние сыгранные 13 нот это первые 13 из запретной мелодии длины 15 — то ему, конечно, было бы логично следующей нотой сыграть не ту, которая идёт 14-й в запретной мелодии. А как бы это устроить?
Давайте измерять «опасность», происходящую от ситуации «ещё вот эти k нот сыграть приводит к проигрышу», величиной a^k, где a — некоторая константа, 0<a<1.
Теперь рассмотрим сумму всех опасностей: для каждого запрета и для каждого способа этот запрет «приложить» к уже сыгранной мелодии, если остаётся ещё k нот, возьмём величину a^k и все такие величины сложим. Обозначим эту сумму для сыгранной мелодии w через S(w).
Теперь пусть Иван на каждом шаге выбирает ту ноту j, после которой сумма опасностей S(wj) оказывается наименьшей. Если эта сумма опасностей каждый раз оказывается меньше 1 (соответствующей пустому слову, a^0) — значит, ни одна запретная мелодия не сыграна, и Иван выигрывает.
Давайте оценим среднее арифметическое того, что мы получаем, сыграв каждую из возможных нот — понятно, что наименьшая сумма будет меньше среднего. Кстати, это рассуждение (как и первое) работает не только для двух нот, но и для произвольного алфавита из d нот.
Так вот — посмотрим на сумму опасностей S(wj) по всем нотам j. Во-первых, каждый хвостик запрета, если мы сыграем ту ноту j, с которой он начинается, становится на одну ноту короче, а если (любую) другую, то исчезает. Так что в итоге тут сумма поделится на a.
Во-вторых, в каждом запрете мы можем сыграть первую ноту. Итого — сумма a^{|u|} по всем запретам u, опять же, делённая на a, потому что первая нота уже сыграна.
Итого
\sum_j S(wj) <= (S(w) + \sum_u a^{|u|}) / a.
Это — просто сумма. Значит, для среднего арифметического
(1/n) \sum_j S(wj) <= (S(w) + \sum_u a^{|u|}) / (da).
Так что найдётся нота j, для которой
S(wj) <= (S(w) + \sum_u a^{|u|}) / (da).
Остаётся выяснить, что мы не «перепрыгнем» через 1 — точнее, найти, при каком условии это можно гарантировать. Оценка на новое значение S(wj) линейно (и потому монотонно) зависит от старого, так что достаточно посмотреть, что 1 переходит в значение, меньшее 1, то есть что
1 < (1+\sum_u a^{|u|}) / (da).
Домножим на na, перенесём 1 в другую часть, получаем
\sum_u a^{|u|} < da -1. (***)
Так вот — на самом деле, (***) это то же самое неравенство, которое мы видели раньше, когда оценивали рост числа последовательностей L_n,
d - \sum_u c^{-(|u|-1)} >= c,
только написанное в терминах a=1/c и поделенное на a.
И достаточно предъявить одно a, для которого для длин запретов, установленных Кощеем (по одной мелодии длин 5,6,…), оно будет выполнено — и это даёт Ивану явный (и довольно эффективный) алгоритм, как играть сколь угодно долго.
Forwarded from Кроссворд Тьюринга (Vanya Yakovlev)
📢 Лекция Виктора КЛЕПЦЫНА в это воскресенье, 24 марта 15:00 МСК
🔍 Складывая игры: ним, хакенбуш и сюрреальные числа Конвея.
⏰ Начало в 15:00 МСК.
Обратите внимание на необычное время
📌 Ссылка на Zoom.
#открытые_лекции #анонс
🔍 Складывая игры: ним, хакенбуш и сюрреальные числа Конвея.
Многим известна игра «ним» — и описание выигрышных и проигрышных позиций в ней. Но как до него можно дойти? Мы придём к этому ответу, обсудим сложение игр (не чисел — игр!), теорему Шпрага-Гранди (Sprague-Grundy) — а потом перейдём к неравноправным (пристрастным) играм и сюрреальным числам Конвея.
Доклад рассчитан на матшкольников начиная с 8 класса. Знать заранее ничего не нужно.
⏰ Начало в 15:00 МСК.
Обратите внимание на необычное время
📌 Ссылка на Zoom.
#открытые_лекции #анонс
Forwarded from GetAClass - физика и здравый смысл
#математика
В ролике «Как вавилоняне извлекали квадратные корни» мы рассказываем о том, как древневавилонские математики извлекали квадратные корни, а делали они это с удивительной точностью и происходило это почти 4000 лет назад во времена царя Хаммурапи.
Для этого они использовали геометрические соображения и находили сторону квадрата заданной площади, рассуждая приблизительно следующим образом…
Пусть нам нужно найти сторону квадрата, площадь которого равна 2. В качестве нулевого приближения к такому квадрату выберем прямоугольник со сторонами 2 и 1.
Для построения следующего приближения возьмем прямоугольник, одна сторона которого равна среднему арифметическому сторон прямоугольника из предыдущего приближения, то есть 3/2. Чтобы площадь такого прямоугольника оставалась равной 2, его вторая сторона должна быть равной 4/3. Так мы получим второй прямоугольник, площадью 2, но уже больше похожий на квадрат.
Идем дальше. Для следующего приближения опять возьмем прямоугольник, одна сторона которого равна среднему арифметическому сторон предыдущего, то есть 17/12. И опять определим вторую сторону, сохраняя площадь равной 2. Получим 24/17.
На следующем (третьем) шаге получим стороны прямоугольника 577/408 и 816/577.
На четвертом шаге получим 665867/470832 и 941664/665867.
А теперь давайте сравним точное значение √2 с приближением, полученном на четвертом шаге:
√2 =
1,414213562373095...
665867/470832 =
1,41421356237468...
То есть уже на четвертом шаге мы (а, вернее, они — древние вавилоняне) правильно определили 12 значащих цифр √2. При этом с каждым следующим шагом число правильных знаков удваивается!
Невероятный результат, особенно с учетом того, что получен он почти 4000 лет назад!
В ролике «Как вавилоняне извлекали квадратные корни» мы рассказываем о том, как древневавилонские математики извлекали квадратные корни, а делали они это с удивительной точностью и происходило это почти 4000 лет назад во времена царя Хаммурапи.
Для этого они использовали геометрические соображения и находили сторону квадрата заданной площади, рассуждая приблизительно следующим образом…
Пусть нам нужно найти сторону квадрата, площадь которого равна 2. В качестве нулевого приближения к такому квадрату выберем прямоугольник со сторонами 2 и 1.
Для построения следующего приближения возьмем прямоугольник, одна сторона которого равна среднему арифметическому сторон прямоугольника из предыдущего приближения, то есть 3/2. Чтобы площадь такого прямоугольника оставалась равной 2, его вторая сторона должна быть равной 4/3. Так мы получим второй прямоугольник, площадью 2, но уже больше похожий на квадрат.
Идем дальше. Для следующего приближения опять возьмем прямоугольник, одна сторона которого равна среднему арифметическому сторон предыдущего, то есть 17/12. И опять определим вторую сторону, сохраняя площадь равной 2. Получим 24/17.
На следующем (третьем) шаге получим стороны прямоугольника 577/408 и 816/577.
На четвертом шаге получим 665867/470832 и 941664/665867.
А теперь давайте сравним точное значение √2 с приближением, полученном на четвертом шаге:
√2 =
1,414213562373095...
665867/470832 =
1,41421356237468...
То есть уже на четвертом шаге мы (а, вернее, они — древние вавилоняне) правильно определили 12 значащих цифр √2. При этом с каждым следующим шагом число правильных знаков удваивается!
Невероятный результат, особенно с учетом того, что получен он почти 4000 лет назад!
YouTube
Как вавилоняне извлекали квадратные корни?
Вавилонский алгоритм извлечение квадратных корней, когда на следующем шаге берутся среднее арифметическое и среднее гармоническое от приближений предыдущего шага, исключительно быстро сходится.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к…
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
какими формулами задаются «Вавилонские» итерации?
если одна сторона прямоугольника площади 2 равна x, то вторая равна 2/x
дальше мы заменяем x на среднее арифметическое двух сторон, x→x/2+1/x (и прямоугольники становятся все ближе к квадратам, а x все ближе к √2)
сравним это с методом Ньютона: чтобы найти корень уравнения f(x_0)=0, мы начинаем с какого-то x и представляем себе, что f примерно линейная — если f(x+t)≈f(x)+tf'(x), то f≈0 при t=-f(x)/f'(x), т.е. новое приближение получается заменой x→x-f(x)/f'(x)
в частности, для функции x²-2 мы получаем те же самые итерации: x-(x²-2)/(2x)=x/2+1/x
если одна сторона прямоугольника площади 2 равна x, то вторая равна 2/x
дальше мы заменяем x на среднее арифметическое двух сторон, x→x/2+1/x (и прямоугольники становятся все ближе к квадратам, а x все ближе к √2)
сравним это с методом Ньютона: чтобы найти корень уравнения f(x_0)=0, мы начинаем с какого-то x и представляем себе, что f примерно линейная — если f(x+t)≈f(x)+tf'(x), то f≈0 при t=-f(x)/f'(x), т.е. новое приближение получается заменой x→x-f(x)/f'(x)
в частности, для функции x²-2 мы получаем те же самые итерации: x-(x²-2)/(2x)=x/2+1/x
Дорогие читатели, берегите себя… : (
Несмотря на случившийся кошмар, мой рассказ (начинающийся через час) всё-таки состоится. Мне кажется, так будет правильно. Но, конечно, будет и запись, и слайды.
Несмотря на случившийся кошмар, мой рассказ (начинающийся через час) всё-таки состоится. Мне кажется, так будет правильно. Но, конечно, будет и запись, и слайды.
Telegram
Кроссворд Тьюринга
📢 Лекция Виктора КЛЕПЦЫНА в это воскресенье, 24 марта 15:00 МСК
🔍 Складывая игры: ним, хакенбуш и сюрреальные числа Конвея.
Многим известна игра «ним» — и описание выигрышных и проигрышных позиций в ней. Но как до него можно дойти? Мы придём к этому ответу…
🔍 Складывая игры: ним, хакенбуш и сюрреальные числа Конвея.
Многим известна игра «ним» — и описание выигрышных и проигрышных позиций в ней. Но как до него можно дойти? Мы придём к этому ответу…
Forwarded from Математические этюды
Необычная для «Математических этюдов» премьера: «Теорема о двух кругах» https://etudes.ru/etudes/two-circles-theorem/ . Теорема даёт явное построение касательных к циклоидальным кривым – траекториям, описываемым фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по некоторой гладкой линии.
Во-первых, необычная, так как просто объяснение геометрической теоремы. Но настолько красивой, что заслуживает своей отдельной экранизации. Кроме того, теорема дополняет цикл «Огибающая» – сюжеты
«Парабола: изонить», «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги», «Кардиоида и нефроида», «Каустики: нефроида и кардиоида».
Теорема о двух кругах, применённая к эпициклоидам, завершает доказательство того, что в цилиндрической чашке видна каустика в виде нефроиды, а в конической, когда лучи света параллельны образующей, – в виде кардиоиды.
Ну и, во-вторых, премьера открывает новый жанр на Этюдах – повествование с анимированными рисунками.
Во-первых, необычная, так как просто объяснение геометрической теоремы. Но настолько красивой, что заслуживает своей отдельной экранизации. Кроме того, теорема дополняет цикл «Огибающая» – сюжеты
«Парабола: изонить», «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги», «Кардиоида и нефроида», «Каустики: нефроида и кардиоида».
Теорема о двух кругах, применённая к эпициклоидам, завершает доказательство того, что в цилиндрической чашке видна каустика в виде нефроиды, а в конической, когда лучи света параллельны образующей, – в виде кардиоиды.
Ну и, во-вторых, премьера открывает новый жанр на Этюдах – повествование с анимированными рисунками.
etudes.ru
Теорема о двух кругах / Этюды // Математические этюды
Теорема о двух кругах: явное построение касательных к циклоидам, эпициклоидам и гипоциклоидам.
Загадка от Ольги Парис-Ромаскевич: что изображено на карте?
(А ещё — несколько лет назад тут был рассказ о её лекции в Ренне)
(А ещё — несколько лет назад тут был рассказ о её лекции в Ренне)
Математические байки
Загадка от Ольги Парис-Ромаскевич: что изображено на карте? (А ещё — несколько лет назад тут был рассказ о её лекции в Ренне)
Ответ/решение. В правом верхнем углу можно заметить слово « Occupancy ». При этом, на карте явно видна Америка. То есть есть какая-то очень узкая полоска, где что-то очень сильно занято/забито. Можно догадаться, что люди там очень хотят оказаться.
Почему? Наверное, потому что там происходит что-то интересное. Причём это интересное не привязано к конкретному городу или городам — полоса тянется через всю карту, а это тысячи километров. И тут можно додуматься до того, что это что-то астрономическое.
Так вот — это заполненность AirBnB перед полным затмением 8 апреля. На скриншоте выше — иллюстрация (via https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2024-april-8 ) того, где солнечное затмение будет полным. Ну конечно же, те, кто едут посмотреть затмение, останавливаются там или неподалёку! И конечно, на такую редкость люди едут посмотреть отовсюду, откуда и возникает ситуация, что все места заняты.
На всякий случай, дежурно напоминаю, что на Солнце нельзя смотреть без защиты глаз! И нет, просто тёмных очков недостаточно.
Почему? Наверное, потому что там происходит что-то интересное. Причём это интересное не привязано к конкретному городу или городам — полоса тянется через всю карту, а это тысячи километров. И тут можно додуматься до того, что это что-то астрономическое.
Так вот — это заполненность AirBnB перед полным затмением 8 апреля. На скриншоте выше — иллюстрация (via https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2024-april-8 ) того, где солнечное затмение будет полным. Ну конечно же, те, кто едут посмотреть затмение, останавливаются там или неподалёку! И конечно, на такую редкость люди едут посмотреть отовсюду, откуда и возникает ситуация, что все места заняты.
На всякий случай, дежурно напоминаю, что на Солнце нельзя смотреть без защиты глаз! И нет, просто тёмных очков недостаточно.
Через полтора часа (18:00 Мск, 17:00 CET) начинается лекция Владлена Тиморина, и это должно быть интересно! (Я слышал его рассказ в прошлом ноябре на юбилейной конференции Юлия Сергеевича Ильяшенко.)
А тем временем коллеги выложили ссылки и материалы к моей лекции — в том числе, там (в комментариях) есть и слайды.
А тем временем коллеги выложили ссылки и материалы к моей лекции — в том числе, там (в комментариях) есть и слайды.
Telegram
Кроссворд Тьюринга
🔥 Лекция Владлена ТИМОРИНА в это воскресенье, 7 апреля
✅ Аддитивные инварианты в геометрии и динамике
К аддитивным геометрическим инвариантам относятся площадь, объем, периметр (если правильно понимать аддитивность), эйлерова характеристика (она инвариантна…
✅ Аддитивные инварианты в геометрии и динамике
К аддитивным геометрическим инвариантам относятся площадь, объем, периметр (если правильно понимать аддитивность), эйлерова характеристика (она инвариантна…
Математические байки
Нерегулярная рубрика «рабочие картинки» (они красивые, хочется поделиться): часть поверхности Маркова x^2+y^2+z^2-xyz = D и некоторые слоения на ней.
Рабочие картинки — продолжение. Красота ведь, правда?
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.youtube.com/live/H9bbgYM8fQs
коллеги решили технические проблемы, лекция Димы Швецова начинается
коллеги решили технические проблемы, лекция Димы Швецова начинается
YouTube
2023/24. Лекция 20. Шедевры М. А. Волчкевича
Докладчик: Швецов Дмитрий Викторович, учитель математики, лауреат конкурса "Молодой Учитель" фонда "Династия", автор статей в журнале "Квант"
Максим Анатольевич Волчкевич является автором огромного числа оригинальных задач. Задачи эти не только красивы…
Максим Анатольевич Волчкевич является автором огромного числа оригинальных задач. Задачи эти не только красивы…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://olympiads.mccme.ru/vmo/
задачи и решения финала всероссийской олимпиады по математике
на странице собрана информация за последние 20 лет… начинается, кстати, как раз с олимпиады в Нижнем Новгороде (в 2005 году)
задачи и решения финала всероссийской олимпиады по математике
на странице собрана информация за последние 20 лет… начинается, кстати, как раз с олимпиады в Нижнем Новгороде (в 2005 году)
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://3blue1brown.substack.com/p/some
«Several people have asked if there will be a Summer of Math Exposition this year. Although we will not do a full SoME4 with a winner selection and prizes, there will be a more casual community-driven version, which people have given the delightful name SoMEπ.
People are still encouraged to try their hand at making a piece of math exposition this summer, whether a video or a written piece, and there will be a deadline to encourage completion, August 18th at 11:59 PM (UTC-12). After this, there will be a similar peer review process to past years, ensuring people receive feedback on their work. Past years have demonstrated how this process also has the wonderful side effect of kickstarting viewership on the video entries, giving the YouTube algorithm a chance to learn cowatching behavior between all of them.
The primary difference from past years is no final selection process for winners and no prizes.»
«Several people have asked if there will be a Summer of Math Exposition this year. Although we will not do a full SoME4 with a winner selection and prizes, there will be a more casual community-driven version, which people have given the delightful name SoMEπ.
People are still encouraged to try their hand at making a piece of math exposition this summer, whether a video or a written piece, and there will be a deadline to encourage completion, August 18th at 11:59 PM (UTC-12). After this, there will be a similar peer review process to past years, ensuring people receive feedback on their work. Past years have demonstrated how this process also has the wonderful side effect of kickstarting viewership on the video entries, giving the YouTube algorithm a chance to learn cowatching behavior between all of them.
The primary difference from past years is no final selection process for winners and no prizes.»
3Blue1Brown mailing list
SoMEπ
This year's more community driven Summer of Math Exposition
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные!
Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater .
На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».
Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater .
На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».
Математические байки
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные! Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live…
К первой фотографии отсюда (самое начало рассказа Катрин) — там был вопрос о том, какие группы на каких многообразиях (не) действуют.
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.
Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).
Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.
А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.
Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).
Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.
А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?
Например: группа Ли SL(2,R) это линейные преобразования плоскости, так что их можно заставить действовать и на проективной прямой (a.k.a. «окружности направлений», a.k.a. множестве прямых, проходящих через 0) — получаются преобразования Мёбиуса (а в координате y=tg(\varphi) они задаются дробно-линейными отображениями). Так что то и любая решётка (дискретная подгруппа с конечным объёмом фактора) в SL(2,R) тоже умеет действовать на окружности.
Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)
Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)
На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.
Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)
Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)
На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.
Так вот, давайте ещё чуть-чуть посмотрим на прямую R.
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.
Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.
А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.
Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.
А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?