Forwarded from Математические этюды
Необычная для «Математических этюдов» премьера: «Теорема о двух кругах» https://etudes.ru/etudes/two-circles-theorem/ . Теорема даёт явное построение касательных к циклоидальным кривым – траекториям, описываемым фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по некоторой гладкой линии.
Во-первых, необычная, так как просто объяснение геометрической теоремы. Но настолько красивой, что заслуживает своей отдельной экранизации. Кроме того, теорема дополняет цикл «Огибающая» – сюжеты
«Парабола: изонить», «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги», «Кардиоида и нефроида», «Каустики: нефроида и кардиоида».
Теорема о двух кругах, применённая к эпициклоидам, завершает доказательство того, что в цилиндрической чашке видна каустика в виде нефроиды, а в конической, когда лучи света параллельны образующей, – в виде кардиоиды.
Ну и, во-вторых, премьера открывает новый жанр на Этюдах – повествование с анимированными рисунками.
Во-первых, необычная, так как просто объяснение геометрической теоремы. Но настолько красивой, что заслуживает своей отдельной экранизации. Кроме того, теорема дополняет цикл «Огибающая» – сюжеты
«Парабола: изонить», «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги», «Кардиоида и нефроида», «Каустики: нефроида и кардиоида».
Теорема о двух кругах, применённая к эпициклоидам, завершает доказательство того, что в цилиндрической чашке видна каустика в виде нефроиды, а в конической, когда лучи света параллельны образующей, – в виде кардиоиды.
Ну и, во-вторых, премьера открывает новый жанр на Этюдах – повествование с анимированными рисунками.
etudes.ru
Теорема о двух кругах / Этюды // Математические этюды
Теорема о двух кругах: явное построение касательных к циклоидам, эпициклоидам и гипоциклоидам.
Загадка от Ольги Парис-Ромаскевич: что изображено на карте?
(А ещё — несколько лет назад тут был рассказ о её лекции в Ренне)
(А ещё — несколько лет назад тут был рассказ о её лекции в Ренне)
Математические байки
Загадка от Ольги Парис-Ромаскевич: что изображено на карте? (А ещё — несколько лет назад тут был рассказ о её лекции в Ренне)
Ответ/решение. В правом верхнем углу можно заметить слово « Occupancy ». При этом, на карте явно видна Америка. То есть есть какая-то очень узкая полоска, где что-то очень сильно занято/забито. Можно догадаться, что люди там очень хотят оказаться.
Почему? Наверное, потому что там происходит что-то интересное. Причём это интересное не привязано к конкретному городу или городам — полоса тянется через всю карту, а это тысячи километров. И тут можно додуматься до того, что это что-то астрономическое.
Так вот — это заполненность AirBnB перед полным затмением 8 апреля. На скриншоте выше — иллюстрация (via https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2024-april-8 ) того, где солнечное затмение будет полным. Ну конечно же, те, кто едут посмотреть затмение, останавливаются там или неподалёку! И конечно, на такую редкость люди едут посмотреть отовсюду, откуда и возникает ситуация, что все места заняты.
На всякий случай, дежурно напоминаю, что на Солнце нельзя смотреть без защиты глаз! И нет, просто тёмных очков недостаточно.
Почему? Наверное, потому что там происходит что-то интересное. Причём это интересное не привязано к конкретному городу или городам — полоса тянется через всю карту, а это тысячи километров. И тут можно додуматься до того, что это что-то астрономическое.
Так вот — это заполненность AirBnB перед полным затмением 8 апреля. На скриншоте выше — иллюстрация (via https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2024-april-8 ) того, где солнечное затмение будет полным. Ну конечно же, те, кто едут посмотреть затмение, останавливаются там или неподалёку! И конечно, на такую редкость люди едут посмотреть отовсюду, откуда и возникает ситуация, что все места заняты.
На всякий случай, дежурно напоминаю, что на Солнце нельзя смотреть без защиты глаз! И нет, просто тёмных очков недостаточно.
Через полтора часа (18:00 Мск, 17:00 CET) начинается лекция Владлена Тиморина, и это должно быть интересно! (Я слышал его рассказ в прошлом ноябре на юбилейной конференции Юлия Сергеевича Ильяшенко.)
А тем временем коллеги выложили ссылки и материалы к моей лекции — в том числе, там (в комментариях) есть и слайды.
А тем временем коллеги выложили ссылки и материалы к моей лекции — в том числе, там (в комментариях) есть и слайды.
Telegram
Кроссворд Тьюринга
🔥 Лекция Владлена ТИМОРИНА в это воскресенье, 7 апреля
✅ Аддитивные инварианты в геометрии и динамике
К аддитивным геометрическим инвариантам относятся площадь, объем, периметр (если правильно понимать аддитивность), эйлерова характеристика (она инвариантна…
✅ Аддитивные инварианты в геометрии и динамике
К аддитивным геометрическим инвариантам относятся площадь, объем, периметр (если правильно понимать аддитивность), эйлерова характеристика (она инвариантна…
Математические байки
Нерегулярная рубрика «рабочие картинки» (они красивые, хочется поделиться): часть поверхности Маркова x^2+y^2+z^2-xyz = D и некоторые слоения на ней.
Рабочие картинки — продолжение. Красота ведь, правда?
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.youtube.com/live/H9bbgYM8fQs
коллеги решили технические проблемы, лекция Димы Швецова начинается
коллеги решили технические проблемы, лекция Димы Швецова начинается
YouTube
2023/24. Лекция 20. Шедевры М. А. Волчкевича
Докладчик: Швецов Дмитрий Викторович, учитель математики, лауреат конкурса "Молодой Учитель" фонда "Династия", автор статей в журнале "Квант"
Максим Анатольевич Волчкевич является автором огромного числа оригинальных задач. Задачи эти не только красивы…
Максим Анатольевич Волчкевич является автором огромного числа оригинальных задач. Задачи эти не только красивы…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://olympiads.mccme.ru/vmo/
задачи и решения финала всероссийской олимпиады по математике
на странице собрана информация за последние 20 лет… начинается, кстати, как раз с олимпиады в Нижнем Новгороде (в 2005 году)
задачи и решения финала всероссийской олимпиады по математике
на странице собрана информация за последние 20 лет… начинается, кстати, как раз с олимпиады в Нижнем Новгороде (в 2005 году)
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://3blue1brown.substack.com/p/some
«Several people have asked if there will be a Summer of Math Exposition this year. Although we will not do a full SoME4 with a winner selection and prizes, there will be a more casual community-driven version, which people have given the delightful name SoMEπ.
People are still encouraged to try their hand at making a piece of math exposition this summer, whether a video or a written piece, and there will be a deadline to encourage completion, August 18th at 11:59 PM (UTC-12). After this, there will be a similar peer review process to past years, ensuring people receive feedback on their work. Past years have demonstrated how this process also has the wonderful side effect of kickstarting viewership on the video entries, giving the YouTube algorithm a chance to learn cowatching behavior between all of them.
The primary difference from past years is no final selection process for winners and no prizes.»
«Several people have asked if there will be a Summer of Math Exposition this year. Although we will not do a full SoME4 with a winner selection and prizes, there will be a more casual community-driven version, which people have given the delightful name SoMEπ.
People are still encouraged to try their hand at making a piece of math exposition this summer, whether a video or a written piece, and there will be a deadline to encourage completion, August 18th at 11:59 PM (UTC-12). After this, there will be a similar peer review process to past years, ensuring people receive feedback on their work. Past years have demonstrated how this process also has the wonderful side effect of kickstarting viewership on the video entries, giving the YouTube algorithm a chance to learn cowatching behavior between all of them.
The primary difference from past years is no final selection process for winners and no prizes.»
3Blue1Brown mailing list
SoMEπ
This year's more community driven Summer of Math Exposition
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные!
Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater .
На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».
Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater .
На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».
Математические байки
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные! Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live…
К первой фотографии отсюда (самое начало рассказа Катрин) — там был вопрос о том, какие группы на каких многообразиях (не) действуют.
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.
Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).
Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.
А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.
Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).
Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.
А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?
Например: группа Ли SL(2,R) это линейные преобразования плоскости, так что их можно заставить действовать и на проективной прямой (a.k.a. «окружности направлений», a.k.a. множестве прямых, проходящих через 0) — получаются преобразования Мёбиуса (а в координате y=tg(\varphi) они задаются дробно-линейными отображениями). Так что то и любая решётка (дискретная подгруппа с конечным объёмом фактора) в SL(2,R) тоже умеет действовать на окружности.
Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)
Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)
На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.
Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)
Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)
На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.
Так вот, давайте ещё чуть-чуть посмотрим на прямую R.
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.
Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.
А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.
Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.
А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?
Теорема (D. Witte, 1994): Если подгруппа конечного индекса Г в SL(k,Z), где k>=3, действует на окружности или на прямой, то на самом деле действует конечная группа, в которую Г отображается/факторизуется.
(D. Witte, Arithmetic Groups of Higher Q-Rank Cannot Act on 1-Manifolds, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 122, No. 2 (Oct., 1994), pp. 333-340)
(D. Witte, Arithmetic Groups of Higher Q-Rank Cannot Act on 1-Manifolds, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 122, No. 2 (Oct., 1994), pp. 333-340)
И рассуждения у Витте очень наглядные; давайте я их набросаю для SL(3,Z). Идея состоит в том, чтобы рассматривать «параболические» подгруппы — вроде
(1 * *)
(0 1 *)
(0 0 1);
правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы, но уж d-ю степень любого элемента мы точно там получим.
А подгруппа, как выше — это группа Гейзенберга: два элемента a и b,
(1 d 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
и
(1 0 0)
(0 1 d)
(0 0 1),
у которых коммутатор даёт третий,
(1 0 d^2)
(0 1 0)
(0 0 1)
с ними коммутирующий. (И да, тут есть ассоциация с квантовой механикой, где коммутатор операторов координаты и импульса это умножение на константу iℏ.)
(1 * *)
(0 1 *)
(0 0 1);
правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы, но уж d-ю степень любого элемента мы точно там получим.
А подгруппа, как выше — это группа Гейзенберга: два элемента a и b,
(1 d 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
и
(1 0 0)
(0 1 d)
(0 0 1),
у которых коммутатор даёт третий,
(1 0 d^2)
(0 1 0)
(0 0 1)
с ними коммутирующий. (И да, тут есть ассоциация с квантовой механикой, где коммутатор операторов координаты и импульса это умножение на константу iℏ.)
Математические байки
И рассуждения у Витте очень наглядные; давайте я их набросаю для SL(3,Z). Идея состоит в том, чтобы рассматривать «параболические» подгруппы — вроде (1 * *) (0 1 *) (0 0 1); правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы…
После чего оказывается, что такое устроить на прямой можно. Но один из элементов a и b должен сдвигать точки прямой « гораздо сильнее », чем любая степень c. После чего — давайте возьмём 6 таких подгрупп в SL(3,Z), по одной для каждого порядка координат. И тот элемент, который играет роль a в одной из них, окажется играющим роль c в другой. После чего возникнет « круговая » цепочка неравенств, где каждый следующий по кругу элемент должен сдвигать точки на прямой сильнее (любой степени) предыдущего. А за 6 шагов мы вернёмся к исходной ситуации — вот и противоречие.
Математические байки
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные! Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live…
Но для рассуждения Витте нужны как раз вот такие «параболические» подгруппы. А что, если их в Г нет? Что, если Г — кокомпактная решётка в SL(3,R)?
Этот вопрос долго висел открытым, пока его не решили — тоже очень красивым и геометрическим рассуждением! — Бертран Деруан и Себастьян Хуртадо. И это всего несколько лет назад, в 2020-м:
см. Bertrand Deroin, Sebastian Hurtado, Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups.
(Помню, как смотрел онлайн один из первых докладов Бертрана об этом — с ощущением «вау, они это сделали! а как???»)
Вот про это — на доске доклада Катрин галочка и строчки
1994 Witte Morris
2020 Deroin, Hurtado
напротив dim=1.
А следующие строчки,
«dim>=2 open» и «Open Q[uestion]:<…>»,
это то, что мотивировало меня написать этот пересказ. Потому что — даже для двумерной сферы не известно конечно-порождённых групп Г без элементов конечного порядка, про которые можно было бы сказать, что «вот эта группа на сфере точно не действует».
(Хотя, конечно, философия гипотезы Циммера подсказывает, что решётки в группах Ли большого ранга должны бы быть такими.)
Вот.
Этот вопрос долго висел открытым, пока его не решили — тоже очень красивым и геометрическим рассуждением! — Бертран Деруан и Себастьян Хуртадо. И это всего несколько лет назад, в 2020-м:
см. Bertrand Deroin, Sebastian Hurtado, Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups.
(Помню, как смотрел онлайн один из первых докладов Бертрана об этом — с ощущением «вау, они это сделали! а как???»)
Вот про это — на доске доклада Катрин галочка и строчки
1994 Witte Morris
2020 Deroin, Hurtado
напротив dim=1.
А следующие строчки,
«dim>=2 open» и «Open Q[uestion]:<…>»,
это то, что мотивировало меня написать этот пересказ. Потому что — даже для двумерной сферы не известно конечно-порождённых групп Г без элементов конечного порядка, про которые можно было бы сказать, что «вот эта группа на сфере точно не действует».
(Хотя, конечно, философия гипотезы Циммера подсказывает, что решётки в группах Ли большого ранга должны бы быть такими.)
Вот.
arXiv.org
Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups
We prove that an irreducible lattice in a real semi-simple Lie group of real rank at least two and finite center is not left-orderable.
Вчера я писал про сложные вещи — давайте сегодня, для баланса, про чуть более простые. А именно — я хочу порекламировать отличную лекцию, которую Владлен Тиморин недавно прочёл для Кроссворда Тьюринга (вот её анонс, комментарии после лекции со ссылками на материалы, и запись на YouTube).
Вопрос для затравки: вот есть теорема Бояйи—Гервина. Она утверждает, что если даны два многоугольника одинаковой площади, то один из них можно разрезать на части и передвинуть их так, что получится второй.
А что, если части разрешается только параллельно переносить, но не поворачивать? Например, можно ли превратить такими операциями правильный треугольник вершиной вверх в равный ему правильный треугольник вершиной вниз? А повернуть квадрат на 30 градусов?
Вопрос для затравки: вот есть теорема Бояйи—Гервина. Она утверждает, что если даны два многоугольника одинаковой площади, то один из них можно разрезать на части и передвинуть их так, что получится второй.
А что, если части разрешается только параллельно переносить, но не поворачивать? Например, можно ли превратить такими операциями правильный треугольник вершиной вверх в равный ему правильный треугольник вершиной вниз? А повернуть квадрат на 30 градусов?