p=7. Казалось бы, частичные суммы ведут себя совершенно хаотично — а результат явно чисто мнимый. Иии… да, это i\sqrt{7}.

p=11. Все уже всё поняли, правда? Получается i\sqrt{11}.

Задача/упражнение. Докажите, что модуль гауссовой суммы всегда равен \sqrt{p}.
Указание. Умножьте сумму на сопряжённую величину и раскройте скобки. Остаётся посмотреть, сколько раз получается какое слагаемое.

в конце мая 1999 года Пьер Картье прочитал в рамках «Студенческих чтений НМУ» три лекции: про значения дзета-функции, про комбинаторику деревьев, про операды

вот их записки

на картинке сверху — тождества¹ из заметки С.Маркелова в Мат. просвещении, и там предлагается придумать обобщения

¹ там только есть опечатка… найдите

программа в комментариях — говорит, суммы каких косинусов надо взять для произвольного p вида 3k+1, а также какому кубическому уравнению они удовлетворяют (и на всякий случай численно проверяет, удовлетворяют ли)

(upd) а также находит формулу для суммы S кубических корней из этих сумму косинусов, шоб было совсем как в заметке

p: 13
primitive root: 2
partition of cosines: [3, 11] [7, 9] [1, 5]
values of trigsums: -0.136945 -0.688601 1.325547
cubic polynomial: 8t³-4t²-8t-1
P(trigsums): -0.0 0.0 0.0
S³ = (3³√-13+7)/2

p: 73
primitive root: 5
partition of cosines: [13, 19, 25, 29, 31, 39, 53, 55, 57, 59, 67, 71] [1, 3, 7, 9
, 17, 21, 27, 43, 49, 51, 63, 65] [5, 11, 15, 23, 33, 35, 37, 41, 45, 47, 61, 69]
values of trigsums: -2.475085 2.40906 0.566026
cubic polynomial: 8t³-4t²-48t+27
P(trigsums): 0.0 0.0 -0.0
S³ = (3³√219-17)/2

теорема Рамануджана о том, как посчитать сумму кубических корней из корней данного кубического уравнения, обсуждается например в Кванте

Ко вчерашнему — собрал картинки гауссовых сумм в одну PNG (чтобы её можно было смотреть сразу).

доступно видео семинара учителей математики, посвященного памяти Сергея Маркелова

программа:
* Н.Н.Андреев, И.В.Яшенко
* С.А.Дориченко. Несколько ярких задач С.Маркелова на Турнире городов
* А.А.Заславский. Задачи С.Маркелова на олимпиаде по геометрии им. И.Ф.Шарыгина
* А.Б.Скопенков. Алгебраические задачи, связанные с геометрической непостроимостью
* Г.А.Мерзон. Тригонометрия от С.Маркелова (нет видео)
* К.Т.Шамсутдинов. Использование программирования для задач С.Маркелова
* Ю.С.Маркелов

( тж на youtube: https://youtu.be/AWpK7HSI5rA )

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг 30 января на семинаре учителей математики — Николай Андреев и друзья. Математические этюды: год 2024

https://www.mathnet.ru/rus/rm805

к 75-летию со дня рождения А.А.Болибруха — пусть здесь будут такие воспоминания о нем