на картинке сверху — тождества¹ из заметки С.Маркелова в Мат. просвещении, и там предлагается придумать обобщения

¹ там только есть опечатка… найдите

программа в комментариях — говорит, суммы каких косинусов надо взять для произвольного p вида 3k+1, а также какому кубическому уравнению они удовлетворяют (и на всякий случай численно проверяет, удовлетворяют ли)

(upd) а также находит формулу для суммы S кубических корней из этих сумму косинусов, шоб было совсем как в заметке

p: 13
primitive root: 2
partition of cosines: [3, 11] [7, 9] [1, 5]
values of trigsums: -0.136945 -0.688601 1.325547
cubic polynomial: 8t³-4t²-8t-1
P(trigsums): -0.0 0.0 0.0
S³ = (3³√-13+7)/2

p: 73
primitive root: 5
partition of cosines: [13, 19, 25, 29, 31, 39, 53, 55, 57, 59, 67, 71] [1, 3, 7, 9
, 17, 21, 27, 43, 49, 51, 63, 65] [5, 11, 15, 23, 33, 35, 37, 41, 45, 47, 61, 69]
values of trigsums: -2.475085 2.40906 0.566026
cubic polynomial: 8t³-4t²-48t+27
P(trigsums): 0.0 0.0 -0.0
S³ = (3³√219-17)/2

теорема Рамануджана о том, как посчитать сумму кубических корней из корней данного кубического уравнения, обсуждается например в Кванте

Ко вчерашнему — собрал картинки гауссовых сумм в одну PNG (чтобы её можно было смотреть сразу).

доступно видео семинара учителей математики, посвященного памяти Сергея Маркелова

программа:
* Н.Н.Андреев, И.В.Яшенко
* С.А.Дориченко. Несколько ярких задач С.Маркелова на Турнире городов
* А.А.Заславский. Задачи С.Маркелова на олимпиаде по геометрии им. И.Ф.Шарыгина
* А.Б.Скопенков. Алгебраические задачи, связанные с геометрической непостроимостью
* Г.А.Мерзон. Тригонометрия от С.Маркелова (нет видео)
* К.Т.Шамсутдинов. Использование программирования для задач С.Маркелова
* Ю.С.Маркелов

( тж на youtube: https://youtu.be/AWpK7HSI5rA )

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг 30 января на семинаре учителей математики — Николай Андреев и друзья. Математические этюды: год 2024

https://www.mathnet.ru/rus/rm805

к 75-летию со дня рождения А.А.Болибруха — пусть здесь будут такие воспоминания о нем

Задача Маркелова С.В. с Тургора

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.)

P.S. Ответ в задаче неожиданный.

справа можно видеть фрагмент квазипериодчиеского замощения плоскости

в нем участвуют равнобедренные треугольники с углами при вершине pi/5 (красные, «A») и 3pi/5 (синие, «B»)

они замечательны тем, что A можно разбить на уменьшенные копии A,B,A, ну а B можно разбить на уменьшенные копии A,B — и если начать с А и итерировать такие замены, то можно думать, что мы собираем из треугольников A и B всё большую копию треугольника¹ A (в левой половинке картинке — первая пара итераций)

такая мозаика — одна из вещей, про которые при создании канала думал, что хорошо бы ее нарисовать, но не очень понятно как

а вечером подумал, что это просто L-система — только параметрическая: кроме буквы A/B нужно помнить, как именно треугольник расположен на плоскости (и правила замены эти параметры должны правильно менять) — так что можно быстренько реализовать

¹ а чтобы получить замощение плоскости, можно, скажем, стартовать с 10 треугольников A с общей вершиной



положение треугольника решил хранить в виде пары комплексных чисел² (преобразования z→az+b, переводящего эталонный треугольник в наш) и написал такой шаг для получающейся параметрической l-системы:

phi = (math.sqrt(5)+1)/2
rot = math.cos(math.pi/5)+math.sin(math.pi/5)*1j

def step(state):
    for atom in state:
        c, a, b = atom
        if c=='A':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)
            yield ('A',a*(rot**3),(a+b)*phi)
        if c=='B':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)

state = [('A',rot**i,0+0j) for i in range(10)]
for _ in range(6):
    state = step(state)

по сути на этом все! — остается только дописать код для рисования треугольничков… ну программа целиком будет в комментариях

² уже засомневался, так ли это удачно — потому что для настоящей мозаики Пенроуза треугольники полезно и переворачивать

https://www.mathnet.ru/rus/conf2550

в среду 5 февраля — в день 50-летия Николая Николаевича Андреева — в МИАН проходит конференция «Пропаганда популяризации»

с популярными докладами выступят А.А.Варламов*, А.А.Гайфуллин, А.В.Гасников, С.А.Дориченко, В.В.Козлов, К.С.Новоселов*, А.Ю.Окуньков*, В.А.Плунгян, В.Г.Сурдин, Т.Токиеда*

( * дистанционные выступления )

https://youtu.be/w3CufD2h_y8

напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов

Только что: А. А. Гайфуллин показывает пример экзотического изгибаемого октаэдра в сферической геометрии.
Конструкция — (простое!) 5-параметрическое семейство октаэдров, у которых длины рёбер задаются (из-за симметрий) всего 4 параметрами.

Там есть встроенная трансляция на странице на MathNet-е ( https://www.mathnet.ru/rus/conf2550 ) + ссылки на прямую трансляцию внизу страницы (в частности: https://youtu.be/eq-Rxr3TgOU )

Да, давайте я прокомментирую эти картинки. Это мы рисовали гауссовы суммы

\sum_{n=0}^{p-1} exp( 2πi n^2/p )

И они оказывались равны при p=4k+1 — корню из p, а при p=4k+3 — тому же корню из p, но умноженному на i.
А почему картинки частичных сумм при больших p так выглядят? А вот почему: когда p очень большое, то пока n маленькое, n^2/p при изменении n на 1 меняется мало — всего лишь на ~2n/p. Так что кривая идёт «в одну сторону», потихоньку начиная заворачиваться. Чем быстрее n — тем быстрее, что мы, собственно, и видим. Ну и если сделать замену x = n / \sqrt{p}, то в масштабе «n порядка корня из p» получится практически интегральная сумма Римана для интеграла от exp(2πi x^2), только умноженная на разницу между соседними x — как раз на \sqrt{p}. То есть — практически интеграл от гауссовой плотности, только с мнимой, а не положительной, дисперсией.

Когда n уходит за пределы этого масштаба, сумма начинает дёргаться во все стороны, в итоге стоя на месте. И отсюда получается часть суммы вида

\sqrt{p} * (1+i)/2.

Но. В некоторый момент сдвиги опять начинают идти в одну сторону. И происходит это, что логично, при n около n_0=(p+-1)/2. Потому что там угол между соседними сдвигами, примерно 2π*2n/p, как раз почти обнуляется.

И там будет примерно такая же сумма — только умноженная на
exp(2πi n_0^2/p).

Если p=4k+1, то n_0=2k, соответственно,
4k^2/p = 4k^2/(4k+1) = k - k/(4k+1),
и
exp(2πi n_0^2/p) ~ exp ( - π/2) = -i.

Так что общая сумма примерно должна быть равна

\sqrt{p} * (1+i)/2 * (1-i) = \sqrt{p}.

А вот если p=4k-1, n_0=2k, то

4k^2/p = 4k^2/(4k-1) = k + k/(4k+1),
и
exp(2πi n_0^2/p) ~ exp ( + π/2) = +i.

То есть сдвиг между двумя «натоптанными кругами», где гуляют частичные суммы, для p=4k-1 будет в противоположную сторону — и общая сумма тогда примерно будет равна

\sqrt{p} * (1+i)/2 * (1+i) = i* \sqrt{p}.

И вот множитель i и вылез. А вот то, что равенства точные, а не приближённые, это так увидеть нельзя. Но зато получается объяснить, что же мы видим на картинках.