И вот ответ —

А головоломка по соседству — как Mr Tan может добраться до запутавшегося в ветвях воздушного змея:

Возвращаясь к рассказу Элизы: а что, если бильярд многоугольный? Ведь отражение от прямого зеркала вещь гораздо более понятная.

В 1995 году George Tokarsky придумал комнату, где, если поставить свечу в одной конкретной точке — некоторая другая точка не будет освещена. Более того, углы в ней все кратны 45 градусам.
Тут мне хочется процитировать коллег —

В многоугольной комнате с зеркальными стенами поставили точечный источник света. Обязательно ли вся комната освещена?

Примерно 40 лет это был открытый вопрос, а потом в 1995 году G.W.Tokarsky придумал комнату, для которой это не так.

картинка по выходным: комната Токарского (источник света в точке A0 освещает всю комнату, кроме точки A1)

Если, скажем, отразить всю комнату относительно самой правой стены, объединить, а стену убрать — то свеча в A0 не сможет осветить уже две точки, A1 и её зеркальный образ.

Так вот — допустим, что у исходного многоугольника все углы рационально соизмеримы с развёрнутым (выражаются рациональным числом градусов, или имеют вид p/q * π в радианах).

Тогда, как рассказывает Элиза (и Мазур в Numberphile), где бы ни находился точечный источник света, он осветит всю комнату, кроме, быть может, _конечного_ числа точек.

И это утверждение следует из "теоремы о волшебной палочке" Эскина и Мирзахани (о которой Антон Зорич пишет тут — https://arxiv.org/abs/1502.05654 ) — но на этом пять минут Элизы истекли, и все пошли пить (традиционный) чай с плюшками.

Давно обещанная последняя часть этой истории.
Есть классический вопрос в геометрии: сколько прямых пересекают четыре заданных попарно скрещивающихся прямых в пространстве?
И есть два совершенно разных подхода к нему.

Первый — геометрический.
Оставим из четырёх прямых только три, и спросим себя — как устроены те прямые, которые их все пересекают? И что заметает их объединение?

Ответ — нужно взять однополостный гиперболоид, на котором эти три прямые лежат. На однополостном гиперболоиде любая прямая одного семейства пересекает почти все прямые другого семейства — кроме одной, которой она параллельна (и которая получается симметрией относительно центра гиперболоида).

А если ещё к пространству — и к гиперболоиду — добавить "бесконечно удалённые точки" (договорившись, что добавляется по одной точке для каждого направления, и что через эту точку проходят все параллельные прямые этого направления), то и вообще любая прямая одного семейства пересекает все прямые другого (просто одну — на бесконечности).

А нет ли других прямых, которые данные три пересекают?
Нет: ведь три прямые l_1, l_2, l_3 не имеют общих точек (даже на бесконечности — они ведь скрещивающиеся!), значит, любая прямая l, которая их всех пересекает, имеет хотя бы три общих точки с гиперболоидом.

А сам гиперболоид задаётся уравнением второго порядка. Ограничение которого на прямую — уравнение второго порядка с тремя различными корнями. То есть тождественный ноль.

Значит, любая прямая, которая пересекает l_1,l_2,l_3, обязана лежать на проходящем через них гиперболоиде. (И значит, это прямая из второго семейства.)
Остаётся вернуться к вопросу про четыре прямых.