Второй подход — линейно-алгебраический; но для него мне сначала нужно будет сказать слова «проективная плоскость» и «проективное пространство». Заранее прошу прощения у тех, кто с ними уже хорошо знаком — несколько следующих сообщений можно пролистать, не читая.

Решая геометрическую задачу и разбирая случаи, «а что, если эти две прямые не пересекаются, а параллельны», часто бывает удобно сказать, что две параллельные прямые «пересекаются на бесконечности». То есть формально добавить к плоскости «точки на бесконечности», в которых они пересекутся. Таких точек будет по одной на каждое направление; а все вместе они образуют бесконечно удалённую прямую. И когда такое добавление сделано — то, например, любые две различные прямые пересекаются ровно в одной точке. А пополненная плоскость называется проективной.

Это хорошо, но неприятно, что точки теперь разделились на «конечные» и «на бесконечности»: в геометрии ведь хорошо то, что все точки равноправны. Так вот, оказывается, есть эквивалентное, но гораздо более «инвариантное» определение.

А именно: точка проективной плоскости это, по определению, прямая в трёхмерном пространстве, проходящая через начало координат.

Я помню, как когда-то на первом курсе меня это поразило — а сейчас, наоборот, кажется очень естественным. Ведь совершенно неважно, какие именно объекты выступают в качестве точек нашей геометрии, лишь бы аксиомы выполнялись. Пусть хоть слоны с крокодилами в зоопарке — лишь бы через любых двух крокодилов проходил ровно один слон.

Давайте теперь свяжем эти два подхода. А именно: если мы теперь возьмём плоскость z=1. С одной стороны, это обычная плоскость с обычной геометрией в ней. С другой, большинство прямых через начало координат в R^3 её пересекут в единственной точке — и вот и соответствие между прямыми и точками на плоскости. А те прямые, что плоскости параллельны — и будут бесконечно удалёнными точками.

(Иллюстрация отсюда —
https://www.mccme.ru/free-books/dubna/lvovski-developables.pdf )

И дальше всё продолжается очень естественно. Что такое прямая в проективной геометрии? Это плоскость, проходящая через начало координат. И действительно, почти любая плоскость на плоскости z=1 высечет прямую — а единственная, что ей параллельна, это z=0, и это как раз бесконечно удалённая прямая.

Две параллельные прямые (в плоскости z=1) действительно теперь (с точки зрения проективной геометрии) пересекаются в бесконечно удалённой точке — ибо соответствующие плоскости в R^3 пересекаются по прямой, параллельной им и проходящей через начало координат. А это и есть одна из бесконечно удалённых точек.

Равноправие точек обеспечивается тем, что можно взять не плоскость z=1, а, к примеру, плоскость x=1 или y=1 (или вообще любую, не проходящую через ноль). И бесконечно удалёнными станут уже другие точки; правда, расстояния и углы такой переход не сохранит.

Наконец, проективные преобразования плоскости получаются, если взять линейные преобразования пространства, и посмотреть, как они действуют на множестве прямых в R^3, проходящих через начало координат.

Понятно, что это « проективная геометрия в двух словах » — а нормально её можно почитать, например, в Куранте-Робинсоне, см. главу 4: http://ilib.mccme.ru/pdf/kurant.pdf

Так вот: давайте рассмотрим уже не проективную плоскость, а проективное пространство; точно так же, это множество прямых, проходящих через начало координат в R^4.
Прямая в проективном пространстве это плоскость в R^4. Две прямые скрещиваются, если соответствующие им плоскости пересекаются только по началу координат. И, наоборот, пересекаются, если у плоскостей есть нетривиальное пересечение.

А теперь перейдём к нашей задаче. У нас есть четыре попарно скрещивающиеся прямые в пространстве, то есть четыре плоскости в R^4, любые две из которых пересекаются лишь по началу координат. А до какой степени можно упростить эту картину?

Возьмём первые две скрещивающиеся прямые — соответствующие им плоскости можно взять за координатные в R^4: пусть это будут Oxy и Ozt.

А третью и четвёртую тогда можно рассматривать, как графики (обратимых) отображений из первой плоскости во вторую. В частности, заменой координат третью плоскость можно сделать « диагональной »: состоящей из векторов вида (u,u) для всех u из R^2. Ну а четвёртая это просто график какого-то линейного отображения.

Итого: плоскости приведены к виду множеств всевозможных (u,0), (0,u), (u,u) и (u,Au) соответственно, где A — некоторое отображение.

А что такое прямая, пересекающая эти четыре? Это плоскость π, нетривиально пересекающая все эти плоскости. Значит, в ней найдутся вектора вида (u,0) — раз она пересекает первую — и (0,v) — раз пересекает вторую.

Тогда это её базис — то есть все вектора π имеют вид (au,bv). Но π должна пересекать третью — "диагональную" — плоскость, значит, там найдётся ненулевой вектор вида (au,bv), для которого au=bv. То есть v= (a/b)u, поэтому v можно заменить на u.

Остаётся последнее — π должна пересекать и четвёртую плоскость. Значит, там найдётся вектор вида
(au,bu)=(au, A(au)).