(Иллюстрация отсюда —
https://www.mccme.ru/free-books/dubna/lvovski-developables.pdf )

И дальше всё продолжается очень естественно. Что такое прямая в проективной геометрии? Это плоскость, проходящая через начало координат. И действительно, почти любая плоскость на плоскости z=1 высечет прямую — а единственная, что ей параллельна, это z=0, и это как раз бесконечно удалённая прямая.

Две параллельные прямые (в плоскости z=1) действительно теперь (с точки зрения проективной геометрии) пересекаются в бесконечно удалённой точке — ибо соответствующие плоскости в R^3 пересекаются по прямой, параллельной им и проходящей через начало координат. А это и есть одна из бесконечно удалённых точек.

Равноправие точек обеспечивается тем, что можно взять не плоскость z=1, а, к примеру, плоскость x=1 или y=1 (или вообще любую, не проходящую через ноль). И бесконечно удалёнными станут уже другие точки; правда, расстояния и углы такой переход не сохранит.

Наконец, проективные преобразования плоскости получаются, если взять линейные преобразования пространства, и посмотреть, как они действуют на множестве прямых в R^3, проходящих через начало координат.

Понятно, что это « проективная геометрия в двух словах » — а нормально её можно почитать, например, в Куранте-Робинсоне, см. главу 4: http://ilib.mccme.ru/pdf/kurant.pdf

Так вот: давайте рассмотрим уже не проективную плоскость, а проективное пространство; точно так же, это множество прямых, проходящих через начало координат в R^4.
Прямая в проективном пространстве это плоскость в R^4. Две прямые скрещиваются, если соответствующие им плоскости пересекаются только по началу координат. И, наоборот, пересекаются, если у плоскостей есть нетривиальное пересечение.

А теперь перейдём к нашей задаче. У нас есть четыре попарно скрещивающиеся прямые в пространстве, то есть четыре плоскости в R^4, любые две из которых пересекаются лишь по началу координат. А до какой степени можно упростить эту картину?

Возьмём первые две скрещивающиеся прямые — соответствующие им плоскости можно взять за координатные в R^4: пусть это будут Oxy и Ozt.

А третью и четвёртую тогда можно рассматривать, как графики (обратимых) отображений из первой плоскости во вторую. В частности, заменой координат третью плоскость можно сделать « диагональной »: состоящей из векторов вида (u,u) для всех u из R^2. Ну а четвёртая это просто график какого-то линейного отображения.

Итого: плоскости приведены к виду множеств всевозможных (u,0), (0,u), (u,u) и (u,Au) соответственно, где A — некоторое отображение.

А что такое прямая, пересекающая эти четыре? Это плоскость π, нетривиально пересекающая все эти плоскости. Значит, в ней найдутся вектора вида (u,0) — раз она пересекает первую — и (0,v) — раз пересекает вторую.

Тогда это её базис — то есть все вектора π имеют вид (au,bv). Но π должна пересекать третью — "диагональную" — плоскость, значит, там найдётся ненулевой вектор вида (au,bv), для которого au=bv. То есть v= (a/b)u, поэтому v можно заменить на u.

Остаётся последнее — π должна пересекать и четвёртую плоскость. Значит, там найдётся вектор вида
(au,bu)=(au, A(au)).

Если его сжать в a раз, то получится вектор
(u,(b/a)u) = (u, Au), и значит,
Au=cu, где c=b/a.

То есть вектор u линейное преобразование A переводит в пропорциональный себе! А это и есть собственный вектор. Ура!

Итак, прямые, пересекающие четыре данных, оказались соответствующими собственным векторам матрицы 2x2.
Да, в качестве рекламы — очень хорошая иллюстрация собственных векторов (для тех, кто с ними ещё не сталкивался) есть тут:
https://youtu.be/PFDu9oVAE-g?t=137

А собственных векторов у типичной матрицы 2x2 как раз два — хотя иногда они (как и корни квадратного уравнения) бывают и комплексными.

Вот мы и получили линейно-алгебраический взгляд на тот же вопрос!

Соседний вопрос — а много ли « существенно различных » четвёрок попарно скрещивающихся прямых в пространстве? Если на них действовать проективными преобразованиями — то как будут устроены инварианты такого действия? Или, может быть, любую четвёрку можно перевести в любую (точно так же, как любую тройку можно перевести в любую даже аффинным преобразованием)?