Понятно, что это « проективная геометрия в двух словах » — а нормально её можно почитать, например, в Куранте-Робинсоне, см. главу 4: http://ilib.mccme.ru/pdf/kurant.pdf

Так вот: давайте рассмотрим уже не проективную плоскость, а проективное пространство; точно так же, это множество прямых, проходящих через начало координат в R^4.
Прямая в проективном пространстве это плоскость в R^4. Две прямые скрещиваются, если соответствующие им плоскости пересекаются только по началу координат. И, наоборот, пересекаются, если у плоскостей есть нетривиальное пересечение.

А теперь перейдём к нашей задаче. У нас есть четыре попарно скрещивающиеся прямые в пространстве, то есть четыре плоскости в R^4, любые две из которых пересекаются лишь по началу координат. А до какой степени можно упростить эту картину?

Возьмём первые две скрещивающиеся прямые — соответствующие им плоскости можно взять за координатные в R^4: пусть это будут Oxy и Ozt.

А третью и четвёртую тогда можно рассматривать, как графики (обратимых) отображений из первой плоскости во вторую. В частности, заменой координат третью плоскость можно сделать « диагональной »: состоящей из векторов вида (u,u) для всех u из R^2. Ну а четвёртая это просто график какого-то линейного отображения.

Итого: плоскости приведены к виду множеств всевозможных (u,0), (0,u), (u,u) и (u,Au) соответственно, где A — некоторое отображение.

А что такое прямая, пересекающая эти четыре? Это плоскость π, нетривиально пересекающая все эти плоскости. Значит, в ней найдутся вектора вида (u,0) — раз она пересекает первую — и (0,v) — раз пересекает вторую.

Тогда это её базис — то есть все вектора π имеют вид (au,bv). Но π должна пересекать третью — "диагональную" — плоскость, значит, там найдётся ненулевой вектор вида (au,bv), для которого au=bv. То есть v= (a/b)u, поэтому v можно заменить на u.

Остаётся последнее — π должна пересекать и четвёртую плоскость. Значит, там найдётся вектор вида
(au,bu)=(au, A(au)).

Если его сжать в a раз, то получится вектор
(u,(b/a)u) = (u, Au), и значит,
Au=cu, где c=b/a.

То есть вектор u линейное преобразование A переводит в пропорциональный себе! А это и есть собственный вектор. Ура!

Итак, прямые, пересекающие четыре данных, оказались соответствующими собственным векторам матрицы 2x2.
Да, в качестве рекламы — очень хорошая иллюстрация собственных векторов (для тех, кто с ними ещё не сталкивался) есть тут:
https://youtu.be/PFDu9oVAE-g?t=137

А собственных векторов у типичной матрицы 2x2 как раз два — хотя иногда они (как и корни квадратного уравнения) бывают и комплексными.

Вот мы и получили линейно-алгебраический взгляд на тот же вопрос!

Соседний вопрос — а много ли « существенно различных » четвёрок попарно скрещивающихся прямых в пространстве? Если на них действовать проективными преобразованиями — то как будут устроены инварианты такого действия? Или, может быть, любую четвёрку можно перевести в любую (точно так же, как любую тройку можно перевести в любую даже аффинным преобразованием)?

Если посчитать размерности, то сразу видно, что инварианты будут: прямая в R^3 задаётся (локально) 4 числами (например, 2 числа для её направления, задаваемого как точка на сфере, и ещё 2 на координату её пересечения с одной из координатных плоскостей, которой она не параллельна). Так что пространство (или, правильнее сказать, многообразие) четвёрок прямых 4*4=16-мерно.

А проективное преобразование это (невырожденное) линейное преобразование R^4 (задающееся 16-ю элементами своей матрицы) — с точностью до умножения на константу (ибо гомотетия прямые не меняет). Поэтому группа проективных преобразований проективного пространства 16-1=15-мерна.

15<16, так что минимум один инвариант будет.

Так вот, инвариантов на самом деле два (что означает, что у типичной конфигурации есть одномерный стабилизатор — одномерная подгруппа преобразований, которая её оставляет на месте).

На геометрическом языке: есть две прямые, пересекающие нашу четвёрку. На каждой из этих прямых есть четыре точки пересечения. А у четырёх точек есть — двойное отношение! И вот два инвариантных числа.

На языке линейной алгебры: когда у нас есть четыре плоскости в R^4, то третью и четвёртую можно рассматривать, как графики отображений из первой во вторую. А тогда их композиционное частное — корректно определённое отображение из первой плоскости в себя. Это, конечно, та самая матрица A выше — просто можно сказать « композиционное частное », а можно — « выбор координат на плоскостях, при котором одно из отображений тождественно ».