Так что на "торе вращения" есть _четыре_ семейства окружностей: параллели, меридианы, и два семейства окружностей Вилларсо.

Возвращаясь к правильным многогранникам — вот картинки одного из них, 120-гранника:

Собственно, построить проще двойственный к нему, многогранник со 120 вершинами (и 600 гранями). А именно — если взять додекаэдр, то группа его вращений состоит из 60 элементов (любую грань в любую 12 способами, и самосовмещений грани 5 штук, 12*5=60).

Кстати, это группа A_5 — и если задаться вопросом, "а почему именно группа перестановок, кого она переставляет", то на него есть удивительно хороший ответ: 5 вписанных кубов.

Точно так же, как четыре вершины куба, соседние по диагонали в каждой грани, образуют два правильных тетраэдра — из вершин додекаэдра можно составить пять разных кубов.

Рёбра куба в любой грани додекаэдра будут диагоналями — и любая диагональ однозначно достраивается до куба.

И вот эти-то пять кубов группа вращений додекаэдра и переставляет.

Так вот — группа вращений додекаэдра состоит из 60 элементов. А группа SO(3) вращений трёхмерного пространства двулистно накрывается группой кватернионов единичной длины (трёхмерное пространство рассматривается как чисто мнимые кватернионы, а сопряжение z->q z q^{-1} сохраняет длины и вещественную ось, значит, оказывается его вращением).

Группа кватернионов единичной длины это трёхмерная сфера в H=R^4 — и прообраз группы из 60 элементов это 120 её точек, которые и будут вершинами того самого правильного многогранника.

А вообще, о том, как классифицируются все правильные многогранники, рассказано в дубнинской брошюре Е. Смирнова — https://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections-v2.pdf .
Собственно, классифицируется-то больше: та же система корней E_8 вещь более важная, чем знание о том, что в размерности выше 4 правильные многогранники только стандартные ("[гипер]тетраэдр", "[гипер]куб" и "[гипер]октаэдр" = "двойственный к [гипер]кубу").

Иллюстрация оттуда, объясняющая, при чём тут группы отражений —

И её "живой аналог" для икосаэдра (за который спасибо М. Панову) —

(Группа отражений тут чуть меньшая — все зеркала идут по рёбрам — но зато смотрится более красиво и симметрично.)

А отражения собраны из одного-единственного исходного треугольника — собственно, как тут:
http://www.etudes.ru/ru/models/football-mirror-icosahedron/

А картинка на этом постере соответствует вот этой статье —
http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-lorenz

Заслуживающей отдельного рассказа самой по себе – чего стоят одни ролики анимаций, которые к ней "прикручены".

Но это будет как-нибудь в другой раз — тут есть красивый рассказ про то, почему пространство решёток на комплексной плоскости это C^2 без кривой {z^2=w^3}, что эта кривая высекает на единичной сфере узел-трилистник, и это именно тот самый трилистник, который появляется на постере, что фундаментальная группа дополнения к нему это группа кос B_3, потому что корни кубического уравнения, и так далее — но это надо писать вдумчиво, так что как-нибудь в другой раз.