Не у всех есть глубокое содержание — но смотрятся очень хорошо (и "создают атмосферу").

Тут — стереографическая проекция, и это один из кадров из второй главы фильма Жиса, Йоса и Альвареса "Измерения":
http://dimensions-math.org/Dim_RU.htm

Начинается он довольно просто — но потом доходит до правильных многогранников в размерности 4, и до того, как на них можно "посмотреть глазами": сначала "надуть", чтобы они легли на трёхмерную сферу в R^4, а потом сделать стереографическую проекцию, получив картинку в R^3.

И про расслоение Хопфа и окружности Вилларсо в конце тоже рассказывают. Я, собственно, ровно оттуда узнал, что если рассечь тор, полученный честным вращением окружности, бикасательной плоскостью —

то в сечении получатся две пересекающиеся окружности:

Так что на "торе вращения" есть _четыре_ семейства окружностей: параллели, меридианы, и два семейства окружностей Вилларсо.

Возвращаясь к правильным многогранникам — вот картинки одного из них, 120-гранника:

Собственно, построить проще двойственный к нему, многогранник со 120 вершинами (и 600 гранями). А именно — если взять додекаэдр, то группа его вращений состоит из 60 элементов (любую грань в любую 12 способами, и самосовмещений грани 5 штук, 12*5=60).

Кстати, это группа A_5 — и если задаться вопросом, "а почему именно группа перестановок, кого она переставляет", то на него есть удивительно хороший ответ: 5 вписанных кубов.

Точно так же, как четыре вершины куба, соседние по диагонали в каждой грани, образуют два правильных тетраэдра — из вершин додекаэдра можно составить пять разных кубов.

Рёбра куба в любой грани додекаэдра будут диагоналями — и любая диагональ однозначно достраивается до куба.

И вот эти-то пять кубов группа вращений додекаэдра и переставляет.

Так вот — группа вращений додекаэдра состоит из 60 элементов. А группа SO(3) вращений трёхмерного пространства двулистно накрывается группой кватернионов единичной длины (трёхмерное пространство рассматривается как чисто мнимые кватернионы, а сопряжение z->q z q^{-1} сохраняет длины и вещественную ось, значит, оказывается его вращением).

Группа кватернионов единичной длины это трёхмерная сфера в H=R^4 — и прообраз группы из 60 элементов это 120 её точек, которые и будут вершинами того самого правильного многогранника.