(Вопрос о том, можно ли тут совсем по-честному обойтись без аксиомы выбора, — учитывая, что процедура на каждом шагу однозначная, и совершаем мы только однократный выбор перечисления элементов H_4 — я собираюсь замести под ковёр, ибо речь сейчас не об этом.)

Так вот — возьмём (какую-нибудь) максимальную по включению, меньшую H_4, нормальную подгруппу G в группе H_4.
И рассмотрим фактор H_4/G. Это и есть обещанный исторически первый пример бесконечной конечно-порождённой простой группы.

Действительно, во-первых, это бесконечная группа, потому что у H_4 нет конечных факторов.

Во-вторых, она простая: если бы у неё была бы нетривиальная нормальная подгруппа, то её прообраз при факторизации H_4 -> H_4 / G был бы нормальной подгруппой H_4, большей G, а мы предположили, что G максимальная.

Всё!

Микеле, конечно, рассказывал не [только] об этом — это был лишь кусочек вводной части. А рассказывал он о том, как заставить группу Хигмана H_4 действовать на окружности —

(Картинка отсюда — http://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Higman.pdf )

Вообще, [сохраняющие ориентацию] действия групп на прямой (и на окружности) это очень красивая тема, соединяющая геометрию и алгебру. Например, оказывается, что действия на прямой связаны с лево-инвариантными порядками.

А именно: назовём группу "левоупорядочиваемой" (left-orderable), если на ней есть полный порядок "<", инвариантный относительно умножения слева:
f<g <=> hf<hg
(такой порядок называется "левоинвариантным").

Понятно, что для задания левоинвариантного порядка достаточно задать множество "положительных" (больших e) элементов группы. И легко перевести условия полного порядка на язык множества положительных элементов (произведение положительных положительно, любой элемент положительный, отрицательный или e).

Но удивительным образом оказывается, что это связано с динамикой!
А именно — пусть группа G действует преобразованиями прямой, сохраняющими ориентацию. И пусть есть какая-нибудь точка x_0, которую ни один нетривиальный элемент G не оставляет на месте. Тогда это задаёт левоинвариантный порядок — будем говорить, что g<h, если g(x_0)<h(x_0)!

Если есть несколько точек x_0,x_1,..., и ни одно преобразование не оставляет их все на месте одновременно — то можно устроить лексикографический левоинвариантный порядок:
g<h, если
* либо g(x_0)<h(x_0),
* либо g(x_0)=h(x_0), но g(x_1)<h(x_1),
* либо g(x_0)=h(x_0), g(x_1)=h(x_1), но g(x_2)<h(x_2),
и так далее.

Наконец, взяв счётное всюду плотное множество точек на прямой (например, рациональные) — можно увидеть, что группа Homeo_+(R) вся левоупорядочиваема.
И, в частности, любая группа, которая умеет действовать на R сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами так, чтобы никто не действовал тождественно — левоупорядочиваема.

На самом деле — если есть счётная группа G и левоинвариантный порядок на ней, то можно заставить её действовать на прямой так, чтобы порядок приходил из орбиты одной конкретной точки. (Это доказывается взятием начальной точку и последовательным построением её орбиты так, чтобы порядок точек был бы соответствующим порядку на группе.)
Так что если на счётной группе левый порядок есть, то он всегда приходит из [какого-то] действия!

Последнее замечание — одиночные соотношения из групп H_n,
aba^{-1}= b^2,
тоже связаны с действиями — это соотношение на преобразования a(x)=2x и b(x)=x+1.

А вообще такие соотношения порождают группы Баумслага-Солитара, https://en.wikipedia.org/wiki/Baumslag–Solitar_group , из которых BS(1,n) это как раз группы, порождённые преобразованиями
x->nx и x->x+1,
и вообще хорошие и понятные — а вот общие BS(m,n) это (IMHO) ужас...

Ну и — про порядки на группах и их действия есть недавний текст (под кодовым названием GOD), "Groups, Order and Dynamics" —
https://arxiv.org/pdf/1408.5805.pdf

А я на сегодня прекращаю дозволенные речи (тем более, что получилось сложнее, чем обычно — но уж очень хотелось пересказать); а следующая байка будет с большим числом красивых картинок.

Вот такого замечательного доказательства формулы для синуса суммы углов я раньше не видел —

Наглядное доказательство формулы синуса суммы из книжки Ícons of Mathematics #картинка