Понятно, что для задания левоинвариантного порядка достаточно задать множество "положительных" (больших e) элементов группы. И легко перевести условия полного порядка на язык множества положительных элементов (произведение положительных положительно, любой элемент положительный, отрицательный или e).

Но удивительным образом оказывается, что это связано с динамикой!
А именно — пусть группа G действует преобразованиями прямой, сохраняющими ориентацию. И пусть есть какая-нибудь точка x_0, которую ни один нетривиальный элемент G не оставляет на месте. Тогда это задаёт левоинвариантный порядок — будем говорить, что g<h, если g(x_0)<h(x_0)!

Если есть несколько точек x_0,x_1,..., и ни одно преобразование не оставляет их все на месте одновременно — то можно устроить лексикографический левоинвариантный порядок:
g<h, если
* либо g(x_0)<h(x_0),
* либо g(x_0)=h(x_0), но g(x_1)<h(x_1),
* либо g(x_0)=h(x_0), g(x_1)=h(x_1), но g(x_2)<h(x_2),
и так далее.

Наконец, взяв счётное всюду плотное множество точек на прямой (например, рациональные) — можно увидеть, что группа Homeo_+(R) вся левоупорядочиваема.
И, в частности, любая группа, которая умеет действовать на R сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами так, чтобы никто не действовал тождественно — левоупорядочиваема.

На самом деле — если есть счётная группа G и левоинвариантный порядок на ней, то можно заставить её действовать на прямой так, чтобы порядок приходил из орбиты одной конкретной точки. (Это доказывается взятием начальной точку и последовательным построением её орбиты так, чтобы порядок точек был бы соответствующим порядку на группе.)
Так что если на счётной группе левый порядок есть, то он всегда приходит из [какого-то] действия!

Последнее замечание — одиночные соотношения из групп H_n,
aba^{-1}= b^2,
тоже связаны с действиями — это соотношение на преобразования a(x)=2x и b(x)=x+1.

А вообще такие соотношения порождают группы Баумслага-Солитара, https://en.wikipedia.org/wiki/Baumslag–Solitar_group , из которых BS(1,n) это как раз группы, порождённые преобразованиями
x->nx и x->x+1,
и вообще хорошие и понятные — а вот общие BS(m,n) это (IMHO) ужас...

Ну и — про порядки на группах и их действия есть недавний текст (под кодовым названием GOD), "Groups, Order and Dynamics" —
https://arxiv.org/pdf/1408.5805.pdf

А я на сегодня прекращаю дозволенные речи (тем более, что получилось сложнее, чем обычно — но уж очень хотелось пересказать); а следующая байка будет с большим числом красивых картинок.

Вот такого замечательного доказательства формулы для синуса суммы углов я раньше не видел —

Наглядное доказательство формулы синуса суммы из книжки Ícons of Mathematics #картинка

А ещё пользуюсь случаем порекламировать (если вдруг кто ещё не видел) —

в вышедшем сейчас втором издании мат. составляющей множество новых сюжетов (фактически это новая книга) и некоторые новые разделы

вот, например, «Книжная полка» — большой список книг по математике для самых разных читателей

===

А сегодняшний рассказ будет про один из моих любимых сюжетов — про асимптотическую комбинаторику.

Общая канва тут — берётся какой-нибудь комбинаторный объект, и задаются вопросы вроде "а сколько таких объектов заданного большого размера" или "на что похож такой типичный объект". Или — как устроены типичные отклонения от предельного поведения (но это уже следующий уровень сложности).

Игрушечный пример — последовательности нулей и единиц. Их 2^n, а в типичной последовательности нулей и единиц примерно поровну. Наконец, отклонение от среднего числа имеет типичный порядок \sqrt{n}, и описывается центральной предельной теоремой — если на \sqrt{n} поделить, то частное ведёт себя (асимптотически) как случайная величина, распределённая по Гауссу.

(Собственно, мы даже это уже в этом канале обсуждали — см. сообщение выше)

Чтобы получалась более комбинаторно-геометрическая картинка, можно превратить последовательность 0 и 1 в путь, идущий по квадратной решётке вправо при 0 и вверх при 1. Тогда при большом n путь, скорее всего, будет идти рядом с диагональю.