Как раз та самая подстановка Фибоначчи, о которой в Дубне рассказывал А. П. Веселов: ( https://vk.com/videos-65937233?z=video-65937233_456239054%2Fclub65937233%2Fpl_-65937233_-2 / https://mccme.ru/dubna/2019/courses/veselov.html )

Из той же лекции — мозаика Пенроуза: не периодичная, но квазипериодичная (любой кусочек, который появляется хоть где-то, появляется везде — по кусочку можно назвать такой радиус R, что копия кусочка есть внутри любого круга радиуса R).

А вот эта — из лекции Марка Полликотта (https://warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/mark_pollicott/p1/ ) —

На фотографии можно узнать аффинное динамически определённое канторово множество. И, конечно, простейший пример — стандартное КМ:

Вопрос тут был вполне естественный — но я расскажу сначала его упрощённую версию.
Можно спрашивать, как себя ведут типичные точки отрезка. Но тут ответ простой — если считать 0 и 1 в двоичной записи случайной точки отрезка, то для типичной точки их будет примерно поровну.
А можно спросить, какая размерность множества тех точек, у которых доля единиц в первых n цифрах стремится к заданному p, 0<p<1. И как эта размерность зависит от p.

Конечно, сразу возникает вопрос, что такое "размерность" — и если отвечать строго, то нужно сказать, что это _хаусдорфова размерность_:
если есть покрытие множества X (бесконечным) объединением шаров радиусов r_j, то его d-мерным объёмом называется сумма ряда из (r_j)^d.
Хаусдорфова размерность множества — инфимум таких d, для которых существуют покрытия со сколь угодно малым d-мерным объёмом.

(Пара слов об этом написана в конце дубнинской брошюры Ильяшенко — https://www.mccme.ru/dubna/books/pdf/ilyashenko-attr.pdf )

Но можно пока о строгом определении не задумываться и подменить вопрос: зафиксировать большое n и посмотреть на те точки, у которых среди первых n цифр доля единиц уже (примерно) p. Например, у которых единиц ровно m=[pn].
Это будет объединение скольки-то отрезков длины 2^(-n) — если мы совсем зафиксировали число единиц, то их количество это биномиальный коэффициент C_n^m.

Соответственно, если мы думаем в терминах размерности — то правильно посмотреть, как какая степень от размера растёт количество этих отрезков. (Отрезок покрывается сотней отрезков длины 1/100, квадрат — 100^2 квадратов со стороной 1/100, d-мерный куб — 100^d кубиками со стороной 1/100.)

То есть нужно посмотреть на отношение
log_2 (C_n^m) / n

Формула Стирлинга (потрясающе полезная, которую надо помнить обязательно) говорит, что
n! ~ \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n.

Нам тут понадобится только последний сомножитель, экспоненциальный (всё остальное слишком медленное относительно логарифма). Ну и в выражении
C_n^m = n!/(m! (n-m)!)
степени e в числителе и знаменателе сокращаются, и остаётся от экспоненциальной части только
(n/m)^m (n/(n-m))^(n-m).

Если прологарифмировать, поделить на n и сказать, что m~np, то получается примерно
(1/n) log_2 C_n^m ~ -p log_2 p - (1-p) log_2 (1-p).

С одной стороны, вот она размерность. Мы её и правда нашли (хотя, конечно, всё вышесказанное нужно делать честно, а не как я сейчас).

И этим занимался Безикович — тот самый, который решил задачу Какейя о развороте отрезка: что есть (невыпуклая) фигура сколь угодно малой площади, внутри которой можно развернуть отрезок.

(У Марка на слайде в знаменателе логарифм 3, а не логарифм 2 — потому что он вместо отрезка работает с канторовым множеством: его точки тоже можно закодировать 0 и 1, или 0 и 2 — просто взяв троичную запись.)