Но кодирование к этому отображению можно применить совершенно так же, просто дословно с теми же I_0 и I_1.
И он больше говорил о вопросе "какова мера начальных условий, которые не попадают в одну лунку J за время n" (она убывает экспоненциально с ростом n, но по-разному для разных лунок одинаковой длины).
Но на этом месте я, пожалуй, прекращу дозволенные речи. :)
В Bedlewo сегодня завершается конференция "2020 Vision for the dynamics" (https://www.impan.pl/en/activities/banach-center/conferences/19-vision2020 ), посвящённая памяти А. Б. Катка (https://ru.wikipedia.org/wiki/Каток,_Анатолий_Борисович ). И мне хотелось поделиться ещё парой фотографий с докладов:
С доклада Е. А. Робинсона-младшего (https://blogs.gwu.edu/robinson/ ) :
Как раз та самая подстановка Фибоначчи, о которой в Дубне рассказывал А. П. Веселов: ( https://vk.com/videos-65937233?z=video-65937233_456239054%2Fclub65937233%2Fpl_-65937233_-2 / https://mccme.ru/dubna/2019/courses/veselov.html )
Из той же лекции — мозаика Пенроуза: не периодичная, но квазипериодичная (любой кусочек, который появляется хоть где-то, появляется везде — по кусочку можно назвать такой радиус R, что копия кусочка есть внутри любого круга радиуса R).
А вот эта — из лекции Марка Полликотта (https://warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/mark_pollicott/p1/ ) —
На фотографии можно узнать аффинное динамически определённое канторово множество. И, конечно, простейший пример — стандартное КМ:
Вопрос тут был вполне естественный — но я расскажу сначала его упрощённую версию.
Можно спрашивать, как себя ведут типичные точки отрезка. Но тут ответ простой — если считать 0 и 1 в двоичной записи случайной точки отрезка, то для типичной точки их будет примерно поровну.
А можно спросить, какая размерность множества тех точек, у которых доля единиц в первых n цифрах стремится к заданному p, 0<p<1. И как эта размерность зависит от p.
Можно спрашивать, как себя ведут типичные точки отрезка. Но тут ответ простой — если считать 0 и 1 в двоичной записи случайной точки отрезка, то для типичной точки их будет примерно поровну.
А можно спросить, какая размерность множества тех точек, у которых доля единиц в первых n цифрах стремится к заданному p, 0<p<1. И как эта размерность зависит от p.
Конечно, сразу возникает вопрос, что такое "размерность" — и если отвечать строго, то нужно сказать, что это _хаусдорфова размерность_:
если есть покрытие множества X (бесконечным) объединением шаров радиусов r_j, то его d-мерным объёмом называется сумма ряда из (r_j)^d.
Хаусдорфова размерность множества — инфимум таких d, для которых существуют покрытия со сколь угодно малым d-мерным объёмом.
если есть покрытие множества X (бесконечным) объединением шаров радиусов r_j, то его d-мерным объёмом называется сумма ряда из (r_j)^d.
Хаусдорфова размерность множества — инфимум таких d, для которых существуют покрытия со сколь угодно малым d-мерным объёмом.
(Пара слов об этом написана в конце дубнинской брошюры Ильяшенко — https://www.mccme.ru/dubna/books/pdf/ilyashenko-attr.pdf )
Но можно пока о строгом определении не задумываться и подменить вопрос: зафиксировать большое n и посмотреть на те точки, у которых среди первых n цифр доля единиц уже (примерно) p. Например, у которых единиц ровно m=[pn].
Это будет объединение скольки-то отрезков длины 2^(-n) — если мы совсем зафиксировали число единиц, то их количество это биномиальный коэффициент C_n^m.
Это будет объединение скольки-то отрезков длины 2^(-n) — если мы совсем зафиксировали число единиц, то их количество это биномиальный коэффициент C_n^m.
Соответственно, если мы думаем в терминах размерности — то правильно посмотреть, как какая степень от размера растёт количество этих отрезков. (Отрезок покрывается сотней отрезков длины 1/100, квадрат — 100^2 квадратов со стороной 1/100, d-мерный куб — 100^d кубиками со стороной 1/100.)
То есть нужно посмотреть на отношение
log_2 (C_n^m) / n
log_2 (C_n^m) / n