Теперь n=50:

И наконец, n=200:

И вот он, красивый эффект — "теорема о полярном круге": снаружи от вписанной окружности все доминошки оказываются "заморожены".
Её доказали Jockush, Propp и Shor; см. — https://arxiv.org/abs/math/9801068

Кстати, у них в работе есть и картинка без раскраски:

Видно, что без цвета всё гораздо менее наглядно...

Возвращаясь к ацтекскому бриллианту — одну красивую картинку мы увидели, но вот что за нею стоит?
Оказывается, что стоит довольно много.

Начать с того, что я продекларировал, что разбиение выбрано равновероятно из всех возможностей — но совершенно не сказал, как это сделано. И даже не сказал, сколько их вообще.

К равновероятному выбору мы ещё вернёмся — а пока посмотрим, сколько их должно быть.

Во-первых, сделаем оценку сверху: площадь АБ порядка n равна 2n(n+1); половина её это чёрные клетки, так что их n(n+1). Собственно, если нарисовать первые сколько-то АБ, то это видно "на глаз":

(picture credit: картинка из статьи в Images de Maths, которую я упоминал выше)

Так вот — разбиение кодируется набором направлений доминошек, закрывающих эти клетки. Значит, всего разбиений не больше, чем
4^{n(n+1)}.

Во-вторых, сделаем теперь оценку снизу. В ацтекский бриллиант порядка n=2m-1 (и n=2m) можно вписать честный квадрат размера 2mx2m, "срезав уголки".
Уголки можно разрезать на доминошки просто параллельно линии отреза — а квадрат размера 2mx2m разрезать на m^2 квадратов размера 2x2.

Каждый из этих квадратов разрезается на доминошки двумя способами — и вот мы получили оценку снизу как 2^{m^2}, то есть примерно как 2^{n^2/4}.

И оценка сверху, и оценка снизу экспоненциальные по площади АБ. То есть естественно ожидать, что асимптотика будет exp(c n^2), где c — некоторая, пока неизвестная нам, константа.

Вообще — такие ситуации, когда число вариантов экспоненциально по числу задействованных объектов (квадратиков или доминошек, в данном случае), встречаются исключительно часто. А множитель в экспоненте обычно тогда называют энтропией.

Игрушечный пример — тоже разбиения на доминошки, но прямоугольника 2xn. Упражнение: их количество это (n+1)-е число Фибоначчи.
Учитывая то, как растут числа Фибоначчи — энтропией будет логарифм золотого сечения.

Но аналогия тут идёт сильно дальше — и соседняя огромная область это статистическая физика. Где будут, например, возможные конфигурации атомов — в количестве, экспоненциальном по числу задействованных атомов.

Кстати, в качестве рекламы — (IMHO, очень хороший) текст Окунькова как раз о статистической физике: http://book.etudes.ru/toc/patternhappen/