Тогда каждая доминошка закрывает одну чёрную и одну белую клетку.
Давайте договоримся, что если доминошка от чёрной клетки идёт
- вверх, то мы её красим в жёлтый цвет,
- вниз, то мы её красим в красный цвет,
- вправо, то мы её красим в зелёный цвет,
- влево, то мы её красим в синий цвет:
- вверх, то мы её красим в жёлтый цвет,
- вниз, то мы её красим в красный цвет,
- вправо, то мы её красим в зелёный цвет,
- влево, то мы её красим в синий цвет:
(В частности, горизонтальные доминошки так оказываются покрашены в "холодные" цвета, а вертикальные в "тёплые")
Так вот — давайте посмотрим на то, как выглядит одно разбиение АБ порядка n на доминошки, случайно выбранное из всех возможных вариантов (я, правда, до сих пор не сказал, сколько их).
И вот он, красивый эффект — "теорема о полярном круге": снаружи от вписанной окружности все доминошки оказываются "заморожены".
Её доказали Jockush, Propp и Shor; см. — https://arxiv.org/abs/math/9801068
Её доказали Jockush, Propp и Shor; см. — https://arxiv.org/abs/math/9801068
arXiv.org
Random Domino Tilings and the Arctic Circle Theorem
In this article we study domino tilings of a family of finite regions called Aztec diamonds. Every such tiling determines a partition of the Aztec diamond into five sub-regions; in the four outer...
Кстати, у них в работе есть и картинка без раскраски:
Возвращаясь к ацтекскому бриллианту — одну красивую картинку мы увидели, но вот что за нею стоит?
Оказывается, что стоит довольно много.
Оказывается, что стоит довольно много.
Начать с того, что я продекларировал, что разбиение выбрано равновероятно из всех возможностей — но совершенно не сказал, как это сделано. И даже не сказал, сколько их вообще.
К равновероятному выбору мы ещё вернёмся — а пока посмотрим, сколько их должно быть.