Во-первых, сделаем оценку сверху: площадь АБ порядка n равна 2n(n+1); половина её это чёрные клетки, так что их n(n+1). Собственно, если нарисовать первые сколько-то АБ, то это видно "на глаз":

(picture credit: картинка из статьи в Images de Maths, которую я упоминал выше)

Так вот — разбиение кодируется набором направлений доминошек, закрывающих эти клетки. Значит, всего разбиений не больше, чем
4^{n(n+1)}.

Во-вторых, сделаем теперь оценку снизу. В ацтекский бриллиант порядка n=2m-1 (и n=2m) можно вписать честный квадрат размера 2mx2m, "срезав уголки".
Уголки можно разрезать на доминошки просто параллельно линии отреза — а квадрат размера 2mx2m разрезать на m^2 квадратов размера 2x2.

Каждый из этих квадратов разрезается на доминошки двумя способами — и вот мы получили оценку снизу как 2^{m^2}, то есть примерно как 2^{n^2/4}.

И оценка сверху, и оценка снизу экспоненциальные по площади АБ. То есть естественно ожидать, что асимптотика будет exp(c n^2), где c — некоторая, пока неизвестная нам, константа.

Вообще — такие ситуации, когда число вариантов экспоненциально по числу задействованных объектов (квадратиков или доминошек, в данном случае), встречаются исключительно часто. А множитель в экспоненте обычно тогда называют энтропией.

Игрушечный пример — тоже разбиения на доминошки, но прямоугольника 2xn. Упражнение: их количество это (n+1)-е число Фибоначчи.
Учитывая то, как растут числа Фибоначчи — энтропией будет логарифм золотого сечения.

Но аналогия тут идёт сильно дальше — и соседняя огромная область это статистическая физика. Где будут, например, возможные конфигурации атомов — в количестве, экспоненциальном по числу задействованных атомов.

Кстати, в качестве рекламы — (IMHO, очень хороший) текст Окунькова как раз о статистической физике: http://book.etudes.ru/toc/patternhappen/

Но давайте вернёмся к собственно подсчёту разбиений. Ответ про их количество оказывается тоже удивительным (и вдвойне — что получается посчитать их точно, а не только найти асимптотику).

Теорема (N. Elkies, G. Kuperberg, M. Larsen, J. Propp): Количество разбиений АБ порядка n равно 2^{n(n+1)/2}.

См.: https://arxiv.org/abs/math/9201305

Собственно, трём взглядам на разбиения АБ и трём доказательствам этой теоремы и посвящена брошюра Е. Смирнова, что я упоминал — так что тут я дальше не пойду. Правда, покажу (без объяснения) одну из картинок — про модель "квадратного льда", с которой ацтекский бриллиант оказывается связанным:

Зато — нам этого ответа уже хватит, чтобы понять, что _угловые_ доминошки действительно должны быть ориентированы так, как предсказывает теорема о полярном круге:

Действительно, пусть мы закрыли угловую клетку горизонтальной доминошкой:

Тогда у клетки B остался только один сосед — так что и её придётся закрывать горизонтальной доминошкой:

А тогда и клетку C, и так далее: пошла "лесенка":