Игрушечный пример — тоже разбиения на доминошки, но прямоугольника 2xn. Упражнение: их количество это (n+1)-е число Фибоначчи.
Учитывая то, как растут числа Фибоначчи — энтропией будет логарифм золотого сечения.

Но аналогия тут идёт сильно дальше — и соседняя огромная область это статистическая физика. Где будут, например, возможные конфигурации атомов — в количестве, экспоненциальном по числу задействованных атомов.

Кстати, в качестве рекламы — (IMHO, очень хороший) текст Окунькова как раз о статистической физике: http://book.etudes.ru/toc/patternhappen/

Но давайте вернёмся к собственно подсчёту разбиений. Ответ про их количество оказывается тоже удивительным (и вдвойне — что получается посчитать их точно, а не только найти асимптотику).

Теорема (N. Elkies, G. Kuperberg, M. Larsen, J. Propp): Количество разбиений АБ порядка n равно 2^{n(n+1)/2}.

См.: https://arxiv.org/abs/math/9201305

Собственно, трём взглядам на разбиения АБ и трём доказательствам этой теоремы и посвящена брошюра Е. Смирнова, что я упоминал — так что тут я дальше не пойду. Правда, покажу (без объяснения) одну из картинок — про модель "квадратного льда", с которой ацтекский бриллиант оказывается связанным:

Зато — нам этого ответа уже хватит, чтобы понять, что _угловые_ доминошки действительно должны быть ориентированы так, как предсказывает теорема о полярном круге:

Действительно, пусть мы закрыли угловую клетку горизонтальной доминошкой:

Тогда у клетки B остался только один сосед — так что и её придётся закрывать горизонтальной доминошкой:

А тогда и клетку C, и так далее: пошла "лесенка":

Более того, такая же лесенка пойдёт и вниз:

И в результате остаётся неразбитым опять АБ — но порядка (n-1). А у него разбиений (по той же теореме) 2^{n(n-1)/2}.
То есть _доля_ тех разбиений, где угловая доминошка ориентирована "не как надо", равна
2^{n(n-1)/2} / 2^{n(n+1)/2} = 1/2^n

(потому что разница двух треугольных чисел в показателе как раз равна n).