Запоздалое — с Новым Годом!

Сегодняшняя байка — рассказ о подстановочных словах.
Давайте зададим вот такое отображение F на словах из букв А и Б: заменим одновременно каждую букву А на слово АБ, а каждую букву Б на А.
Например, F(БАА)=ААБАБ.

И будем это отображение итерировать, начав с однобуквенного слова w_1=А: рассмотрим последовательность его образов w_n=F(w_{n-1}).
Что у нас получится?

Вот первые несколько образов:
w_1=А
w_2=АБ
w_3=АБА
w_4=АБААБ
w_5=АБААБАБА

Явно видно, что следующее слово продолжает предыдущее — что мгновенно доказывается по индукции. Значит, есть одно бесконечное слово, у которого все эти слова являются началами.

Это слово
w = АБААБАБААБААБАБААБАБА...
называется словом Фибоначчи.
А что о нём можно сказать?

Оказывается, очень много — а пройдя по этой дороге чуть-чуть дальше, можно получить вот такую красивую картинку, фрактал Рози
(picture credit: А. Я. Канель-Белов, И. В. Митрофанов):

Но это будет итоговая "светлая цель", к которой мы дойдём, а пока давайте начнём с совсем простого: посчитаем буквы. (Почему? Да просто потому, что если вдруг есть непонятный объект, так давайте его измерим, насколько получится, вдруг что интересное найдём.)

Сколько букв в словах w_1, w_2, w_3,...? Посчитав, видимо знакомую нам последовательность
1, 2, 3, 5, 8, ...

А сколько по отдельности букв А и Б?

Сразу видны числа Фибоначчи; а как бы это доказать?
Мы знаем, что следующее слово продолжает предыдущее, не получится ли что-то увидеть из этого?

Давайте посмотрим, что остаётся, если из нового слова убрать идущее перед ним:

Невооружённым глазом видно, что остаётся то слово, что было до того. То есть
w_{n+1} = w_n w_{n-1}.

И когда это написано, доказательство тоже мгновенно проводится по индукции, из базы либо АБА= АБ А,
либо даже АБ= А Б с формальным добавлением w_0=Б.

Теперь понятно, почему бесконечное слово называют "словом Фибоначчи": последовательность слов, которая к нему приводит, получается как раз из Фибоначчи-подобного соотношения.

Но давайте продолжим нашу деятельность по счёту букв. А именно, давайте посмотрим, сколько букв А и Б оказывается среди первых k букв слова Фибоначчи — и отметим соответствующую точку на плоскости (по оси абсцисс отложив буквы А, а по оси ординат буквы Б). Получится этакая "змейка": при добавлении одной буквы мы сдвинемся на расстояние 1.

Сразу кажется, что она очень хорошо "выдерживает направление". Кстати, коэффициент наклона того направления, в котором она идёт (если предположить, что он есть) — золотое сечение, точнее, обратная к нему величина 1/Ф (букв А больше, а традиционно Ф^2=Ф+1).
Потому что отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению, а мы знаем, что в подслове w_n количество букв А и Б это последовательные числа Фибоначчи.

Но буквально так мы что-то говорим только про слова w_n — а они становятся всё длиннее и длиннее, и формально мы пока ничего не сказали про подслова длиной между |w_n| и |w_{n+1}|.

И всё равно; давайте посмотрим, насколько хорошо точки ложатся на какую-то прямую — попробовав заключить их в полосу. Оказывается, что это полоса вполне небольшого размера:

А прямые, которые её ограничивают — проходят через точки (-1,0) и (0,-1); и вся эта змейка, какой бы длины она не была, не выходит за рамки этой весьма неширокой полосы.

Но интереснее другое: давайте точки ещё и раскрасим.

Если последняя посчитанная буква А — поставим красную точку, если Б — синюю. Вот, что получится:

Очень естественно, что красные точки в целом ниже/правее синих. Но что будет, если мы их спроецируем на перпендикулярный отрезок?