Невооружённым глазом видно, что остаётся то слово, что было до того. То есть
w_{n+1} = w_n w_{n-1}.
И когда это написано, доказательство тоже мгновенно проводится по индукции, из базы либо АБА= АБ А,
либо даже АБ= А Б с формальным добавлением w_0=Б.
w_{n+1} = w_n w_{n-1}.
И когда это написано, доказательство тоже мгновенно проводится по индукции, из базы либо АБА= АБ А,
либо даже АБ= А Б с формальным добавлением w_0=Б.
Математические байки
Невооружённым глазом видно, что остаётся то слово, что было до того. То есть w_{n+1} = w_n w_{n-1}. И когда это написано, доказательство тоже мгновенно проводится по индукции, из базы либо АБА= АБ А, либо даже АБ= А Б с формальным добавлением w_0=Б.
Теперь понятно, почему бесконечное слово называют "словом Фибоначчи": последовательность слов, которая к нему приводит, получается как раз из Фибоначчи-подобного соотношения.
Но давайте продолжим нашу деятельность по счёту букв. А именно, давайте посмотрим, сколько букв А и Б оказывается среди первых k букв слова Фибоначчи — и отметим соответствующую точку на плоскости (по оси абсцисс отложив буквы А, а по оси ординат буквы Б). Получится этакая "змейка": при добавлении одной буквы мы сдвинемся на расстояние 1.
Но давайте продолжим нашу деятельность по счёту букв. А именно, давайте посмотрим, сколько букв А и Б оказывается среди первых k букв слова Фибоначчи — и отметим соответствующую точку на плоскости (по оси абсцисс отложив буквы А, а по оси ординат буквы Б). Получится этакая "змейка": при добавлении одной буквы мы сдвинемся на расстояние 1.
Сразу кажется, что она очень хорошо "выдерживает направление". Кстати, коэффициент наклона того направления, в котором она идёт (если предположить, что он есть) — золотое сечение, точнее, обратная к нему величина 1/Ф (букв А больше, а традиционно Ф^2=Ф+1).
Потому что отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению, а мы знаем, что в подслове w_n количество букв А и Б это последовательные числа Фибоначчи.
Потому что отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению, а мы знаем, что в подслове w_n количество букв А и Б это последовательные числа Фибоначчи.
Но буквально так мы что-то говорим только про слова w_n — а они становятся всё длиннее и длиннее, и формально мы пока ничего не сказали про подслова длиной между |w_n| и |w_{n+1}|.
И всё равно; давайте посмотрим, насколько хорошо точки ложатся на какую-то прямую — попробовав заключить их в полосу. Оказывается, что это полоса вполне небольшого размера:
А прямые, которые её ограничивают — проходят через точки (-1,0) и (0,-1); и вся эта змейка, какой бы длины она не была, не выходит за рамки этой весьма неширокой полосы.
Если последняя посчитанная буква А — поставим красную точку, если Б — синюю. Вот, что получится:
Очень естественно, что красные точки в целом ниже/правее синих. Но что будет, если мы их спроецируем на перпендикулярный отрезок?
Окажется, что проекции красных точек заметают один отрезок, проекции синих другой, и эти отрезки не пересекаются.
Математические байки
Photo
Теперь уже можно сказать (хотя пока конструкция "повиснет в воздухе"), откуда берётся фрактал Рози, который мы заявили, как цель.
А именно — нужно взять другие правила замен, уже из трёх букв:
A -> AB
B -> AC
C -> A
И точно так же много-много раз их применять к исходному слову из одной буквы А. Все получающиеся слова будут префиксами одного и того же слова Трибоначчи
ABACABA...
A -> AB
B -> AC
C -> A
И точно так же много-много раз их применять к исходному слову из одной буквы А. Все получающиеся слова будут префиксами одного и того же слова Трибоначчи
ABACABA...
Если посчитать, сколько по отдельности букв A, B и C из первых k букв слова Трибоначчи — получится "змейка", растущая уже в трёхмерном пространстве:
И если спроецировать её на перпендикулярную её асимптотическому направлению плоскость, то точки заметут фигуру, которая разделится на проекции красных (А), синих (B) и зелёных (C) точек: