И если спроецировать её на перпендикулярную её асимптотическому направлению плоскость, то точки заметут фигуру, которая разделится на проекции красных (А), синих (B) и зелёных (C) точек:

Вот это и есть тот самый фрактал Рози.

То направление, в котором растёт эта змейка — собственное направление матрицы замен
(1 1 1)
(1 0 0)
(0 1 0),
применение которой пересчитывает буквы A, B и C в исходном слове в количество букв в его образе, с собственным значением, большим 1.

А два других собственных значения этой матрицы — комплексно-сопряжённые с модулем, меньшим 1. Умножение на них и выступает в качестве подобия, последовательно (и с добавлением сдвигов) превращающего всю проекцию в каждую из трёх частей.

Мне остаётся договорить про то, как связано слово Фибоначчи с перекладываниями отрезка и поворотом окружности, но это я сделаю в следующий раз, а пока несколько ссылок:
- записки дубнинского курса о подстановочных словах + картинки: https://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kanel-mitrofanov.htm (ссылки на два PDFа внизу)
- ролик Numberphile примерно об этом же:
https://www.youtube.com/watch?v=fMJflV_GUpU
- дубнинская лекция А. П. Веселова:
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=24811
- статья М. Л. Концевича в Кванте —
https://kvant.ras.ru/1985/07/ravnomernye_raspolozheniya.htm

А на сегодня я на этом прекращаю дозволенные речи...

В прошлый раз я рассказывал о подстановочных словах и о слове Фибоначчи в частности — но совсем не рассказал о связанных с этим квазипериодических паркетах, а это простая и геометрическая история.

Давайте проведём в правильном пятиугольнике три диагонали, и посмотрим, какие у нас получатся треугольники:

Оба треугольника, и красный, и синий — равнобедренные. Если взять короткую сторону за 1, то у синего стороны — это 1,1,Ф, а у красного — Ф,Ф,1, где Ф — золотое сечение.

То, что Ф это именно золотое сечение, несложно увидеть из того, что большой треугольник BCD, который они образуют вместе, подобен синему. И получается (из стороны BD) классическое уравнение Ф^2=Ф+1.

Но я не стал бы рассказывать столь классические (пару тысяч лет как) вещи, если бы тут не происходило чего-нибудь более интересного. А именно: пока мы из одного красного и одного синего треугольника сделали треугольник, подобный синему с коэффициентом Ф.
Так вот, из двух красных и одного синего треугольника можно сделать треугольник, подобный красному. С тем же самым коэффициентом подобия!

И увидеть это можно внутри всё того же правильного пятиугольника, проведя ещё одну диагональ (и мысленно сжав всё в Ф раз):

(Нижний синий треугольник это уже "меньший красный+меньший синий", и добавление ещё одного "меньшего красного" превращает его обратно в красный)

Итак, из синих и красных треугольников можно сделать подобные им и в Ф раз большие синие и красные треугольники.

А давайте повторять эту процедуру, например, начиная с одного красного треугольника —