🤔 У кого-нибудь есть варианты что сделать на 100 подписчиков?

📢 Math || #мемы

💬 Хотел бы вам порекомендовать канал похожий на мой. Автор канала пишет статьи про математику и также как и я, объясняет различные темы

📝 Что такое платоновы тела?

📝 Что такое "Тригонометрия" и что в неё входит?

Зайди на канал, там есть ответы на огромное количество вопросов

📢 Math || #цитаты

На канале с тестами снова выходят посты! Заходи:
📢 𝙼𝚊𝚝𝚑 | 𝚃𝚎𝚜𝚝𝚜

🔎 Параметрическая система координат: Начало

В параметрической системе координат в отличие от декартовой, для того чтобы построить график надо знать две функции. Первая функция это функция по которой рассчитывается положение по оси ОХ, вторая Функция для оси OY . Дальше берём некий параметр t и подставляем в первую функцию получаем положение точки по Х, потом подставляем во вторую функцию и получаем положение точки по У, ну а дальше как и в декартовой системе, ставим точку с координатами (Х,У). Изменяя значение параметра t, точка будет двигаться по некому графику.

Иногда параметр может быть не один а несколько и необязательно это двумерный график, может быть и трёх и четырех мерный

📢 Math || #простым_языком

🔺 Рассмотрим уравнение окружности радиуса r=1 в параметрической системе координат:

x(t)=cos(t)
y(t)=sin(t)

Тогда координаты точки = (cos(t) , sin(t)), изменяя параметр t, точка будет описывать окружность.

📢 Math || #простым_языком

🔎 Параметрическая система координат: Перевод в декартовую

Пускай положение по Х будет рассчитываться функцией f(t), а по Y — g(t)

x = f(t)
y = g(t)

Переведём в декартовую систему график окружности:

x = f(t) = sin(t)
y = g(t) = cos(t)

Выражаем из f(t) переменную t, то есть берём обратную функцию от f(t). Обратная функция обозначается f⁻¹(t). В нашем случае обратная функция от sin(t), это arcsin(t). Далее составляем график в декартовой системе
y = g(f⁻¹(x))
у = cos(arcsin(x))

🤔 Почему это работает?

Все легче чем кажется, х = f(t) а, y = g(t). В декартовой системе значение У рассчитывается некой функцией от X, то есть мы берём X подставляем в некую функцию и получаем Y. В свою очередь х = f(t), чтобы найти чему равно t надо взять обратную функцию от х, t = f⁻¹(x). выразив t, можно легко найти y, так как y = g(t). подставим значение t в у, у = g(f⁻¹(x))

© Значение одинаковых Х может быть при разных t, а взяв обратную функцию мы получаем только один t, то есть мы получим не все значение Y.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

📢 Math || #цитаты

🔄 Полярная система координат: что это и как она работает?

Полярная система координат — это один из способов задания положения точек на плоскости, который отличается от привычной декартовой системы. В полярной системе каждая точка определяется с помощью двух параметров: расстояния от начала координат (полюса) и угла относительно положительного направления оси X.

▎Элементы полярной системы координат:

1️⃣ Радиус (r) — расстояние от полюса до точки.

2️⃣ Угол (θ) — угол между положительным направлением оси X и линией, соединяющей полюс с данной точкой. Угол измеряется в радианах или градусах и может быть как положительным, так и отрицательным.

📢 Math || #простым_языком

↗️ Полярная система координат: перевод в параметрическую

1️⃣ Для перевода координат точки из полярной с.к. в прямоугольную с.к. потребуется знание тригонометрии. У нас есть точка с координатами записанными в полярной с.к. (r, θ), опустим перпендикуляр на полярную ось. У нас получился прямоугольный треугольник и один из его углов равен θ, тогда противолежащий катет равен sin(θ) • r. а прилежащий cos(θ) • r.

Не трудно провести аналогию с прямоугольной с.к. где Y противолежащий катет, а Х прилежащий.

X = cos(θ)*r
Y = sin(θ)*r

2️⃣ Теперь будем переводить график из полярной с.к. в параметрическую и декартовую,  на примере графика r = tan(θ).

В полярной системе координат график выглядит как r = f(θ), тогда положение по Х = cos(θ)*f(θ), а по Y = sin(θ)*f(θ). В нашем случае

X = cos(θ)*tan(θ)
Y = sin(θ)*tan(θ)

θ можно заменить на некий параметр, пускай будет t. Тогда в параметрической системе координат.

Х = cos(t)*f(t)   X = cos(t)*tan(t)
Y = sin(t)*f(t)    Y = sin(t)*tan(t)

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

↗️ Полярная система координат: перевод в декартовую

В прошлом посте мы научились переводить полярную с.к. в параметрическую, осталось перевести параметрическую в декартовую, ну а это уже тоже умеем делать. и если все перевести то получиться:

y = sin(g⁻¹(x)) • f(g⁻¹(x))
g(x) = cos(x) • f(x)
g⁻¹, это обратная функция от g

🔜 Ну а в нашем случае обратная функция от cos(x) • tan(x) это arcsin(x)

y = sin(arcsin(x)) • tan(arcsin(x)) = x • tan(arcsin(x))

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #цитаты

🔃 Из прямоугольной в полярную с.к.

Есть координаты точки заданные в прямоугольной с.к. (х, у). Что бы перевести координаты в полярную с.к. надо достроить отрезок от центра координат до точки. Тогда длина отрезка рассчитывается по теореме Пифагора r = √(x^2 + y^2) . Угол между осью Ох и отрезком равен θ = arctan(y / x).

r = √(x² + y²)
θ = arctan(y / x).

😎 Теперь переведём из параметрической с.к. в полярную

х = g(t)
y = h(t)

Разберём на примере графика параболы

g(t) = t
h(t) = t^2

Тогда

r = √(x² + y) = √(g(t)² + h(t)²).
θ = arctan(h(t) / g(t))

Выразим значение параметра t из θ, взяв обратную функцию.

t = f⁻¹(tanθ)
f(х) = h(x) / g(x)

Всё соединяем во едино; Тогда график параболы в полярной с.к. будет выглядеть

r = √(g(f⁻¹(tan θ))² + h(f⁻¹(tan θ))²)
r = √((tan θ)² + (tan θ)⁴)

🤔 Перевод из декартовой с.к. в полярную

Для этого достаточно перевести в параметрическую, а это делается не трудно. У нас есть функция f(x), пускай x = t тогда y = f(t):

x = t
y = f(t)
х = g(t) = t
y = h(t) = f(t)

Подставив в формулу которую уже вывели получим:

r = √(v⁻¹(tanθ) + f(v⁻¹(tanθ))²)
v = f(x) \ x

📢 Math || #углублённо