🔎 Параметрическая система координат: Начало

В параметрической системе координат в отличие от декартовой, для того чтобы построить график надо знать две функции. Первая функция это функция по которой рассчитывается положение по оси ОХ, вторая Функция для оси OY . Дальше берём некий параметр t и подставляем в первую функцию получаем положение точки по Х, потом подставляем во вторую функцию и получаем положение точки по У, ну а дальше как и в декартовой системе, ставим точку с координатами (Х,У). Изменяя значение параметра t, точка будет двигаться по некому графику.

Иногда параметр может быть не один а несколько и необязательно это двумерный график, может быть и трёх и четырех мерный

📢 Math || #простым_языком

🔺 Рассмотрим уравнение окружности радиуса r=1 в параметрической системе координат:

x(t)=cos(t)
y(t)=sin(t)

Тогда координаты точки = (cos(t) , sin(t)), изменяя параметр t, точка будет описывать окружность.

📢 Math || #простым_языком

🔎 Параметрическая система координат: Перевод в декартовую

Пускай положение по Х будет рассчитываться функцией f(t), а по Y — g(t)

x = f(t)
y = g(t)

Переведём в декартовую систему график окружности:

x = f(t) = sin(t)
y = g(t) = cos(t)

Выражаем из f(t) переменную t, то есть берём обратную функцию от f(t). Обратная функция обозначается f⁻¹(t). В нашем случае обратная функция от sin(t), это arcsin(t). Далее составляем график в декартовой системе
y = g(f⁻¹(x))
у = cos(arcsin(x))

🤔 Почему это работает?

Все легче чем кажется, х = f(t) а, y = g(t). В декартовой системе значение У рассчитывается некой функцией от X, то есть мы берём X подставляем в некую функцию и получаем Y. В свою очередь х = f(t), чтобы найти чему равно t надо взять обратную функцию от х, t = f⁻¹(x). выразив t, можно легко найти y, так как y = g(t). подставим значение t в у, у = g(f⁻¹(x))

© Значение одинаковых Х может быть при разных t, а взяв обратную функцию мы получаем только один t, то есть мы получим не все значение Y.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

📢 Math || #цитаты

🔄 Полярная система координат: что это и как она работает?

Полярная система координат — это один из способов задания положения точек на плоскости, который отличается от привычной декартовой системы. В полярной системе каждая точка определяется с помощью двух параметров: расстояния от начала координат (полюса) и угла относительно положительного направления оси X.

▎Элементы полярной системы координат:

1️⃣ Радиус (r) — расстояние от полюса до точки.

2️⃣ Угол (θ) — угол между положительным направлением оси X и линией, соединяющей полюс с данной точкой. Угол измеряется в радианах или градусах и может быть как положительным, так и отрицательным.

📢 Math || #простым_языком

↗️ Полярная система координат: перевод в параметрическую

1️⃣ Для перевода координат точки из полярной с.к. в прямоугольную с.к. потребуется знание тригонометрии. У нас есть точка с координатами записанными в полярной с.к. (r, θ), опустим перпендикуляр на полярную ось. У нас получился прямоугольный треугольник и один из его углов равен θ, тогда противолежащий катет равен sin(θ) • r. а прилежащий cos(θ) • r.

Не трудно провести аналогию с прямоугольной с.к. где Y противолежащий катет, а Х прилежащий.

X = cos(θ)*r
Y = sin(θ)*r

2️⃣ Теперь будем переводить график из полярной с.к. в параметрическую и декартовую,  на примере графика r = tan(θ).

В полярной системе координат график выглядит как r = f(θ), тогда положение по Х = cos(θ)*f(θ), а по Y = sin(θ)*f(θ). В нашем случае

X = cos(θ)*tan(θ)
Y = sin(θ)*tan(θ)

θ можно заменить на некий параметр, пускай будет t. Тогда в параметрической системе координат.

Х = cos(t)*f(t)   X = cos(t)*tan(t)
Y = sin(t)*f(t)    Y = sin(t)*tan(t)

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

↗️ Полярная система координат: перевод в декартовую

В прошлом посте мы научились переводить полярную с.к. в параметрическую, осталось перевести параметрическую в декартовую, ну а это уже тоже умеем делать. и если все перевести то получиться:

y = sin(g⁻¹(x)) • f(g⁻¹(x))
g(x) = cos(x) • f(x)
g⁻¹, это обратная функция от g

🔜 Ну а в нашем случае обратная функция от cos(x) • tan(x) это arcsin(x)

y = sin(arcsin(x)) • tan(arcsin(x)) = x • tan(arcsin(x))

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #цитаты

🔃 Из прямоугольной в полярную с.к.

Есть координаты точки заданные в прямоугольной с.к. (х, у). Что бы перевести координаты в полярную с.к. надо достроить отрезок от центра координат до точки. Тогда длина отрезка рассчитывается по теореме Пифагора r = √(x^2 + y^2) . Угол между осью Ох и отрезком равен θ = arctan(y / x).

r = √(x² + y²)
θ = arctan(y / x).

😎 Теперь переведём из параметрической с.к. в полярную

х = g(t)
y = h(t)

Разберём на примере графика параболы

g(t) = t
h(t) = t^2

Тогда

r = √(x² + y) = √(g(t)² + h(t)²).
θ = arctan(h(t) / g(t))

Выразим значение параметра t из θ, взяв обратную функцию.

t = f⁻¹(tanθ)
f(х) = h(x) / g(x)

Всё соединяем во едино; Тогда график параболы в полярной с.к. будет выглядеть

r = √(g(f⁻¹(tan θ))² + h(f⁻¹(tan θ))²)
r = √((tan θ)² + (tan θ)⁴)

🤔 Перевод из декартовой с.к. в полярную

Для этого достаточно перевести в параметрическую, а это делается не трудно. У нас есть функция f(x), пускай x = t тогда y = f(t):

x = t
y = f(t)
х = g(t) = t
y = h(t) = f(t)

Подставив в формулу которую уже вывели получим:

r = √(v⁻¹(tanθ) + f(v⁻¹(tanθ))²)
v = f(x) \ x

📢 Math || #углублённо

🟪 В канале есть #хэштеги

Вы можете в подписи к посту нажимать на "#мемы", "#простым_языком" и др. Вы увидете все посты с тем же #.

📢 Math || #новости

🫥 Что такое комплексные числа?

В школьной математике когда проходят корни рассказывают что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но когда люди решали кубические уравнения они столкнулся с отрицательными корнями √(-a); Тогда решили сделать так, √(a * (-1)) = √a * √-1. Сделав такую замену продолжали считать и в конце решения все √-1 сокращались.

Предложили сделать замену √-1 на i, мнимую единицу. Так и появились мнимые числа. Мнимое число выглядит как a*i, где а это коэффициент.

Но мнимые числа не решили всю проблему. Допустим надо посчитать корень из i. Тут и выступают на сцену комплексные числа. Комплексные числа это числа вида a + bi. Ну а √i = √(2)/2 + √(2)/2 * i, это первый корень, а второй корень = -√(2)/2 - √(2)/2 * i

🫥 Комплексная плоскость

Если раньше для записи любого числа обходились числовой прямой, то вот для того что бы записать комплексные числа придумали комплексную плоскость. Её можно сравнить с прямоугольной с.к. где по оси Ох расставлены действительные числа, а по оси Оу расставлены мнимые числа. Если надо поставить некое число a + bi тогда ставим в точку с координатами (a, b).

Множество комплексных чисел обозначается С

📢 Math || #простым_языком

📢 Math || #шпоры

📢 Math || #мемы

ℹ️ Арифметические действия над комплексными числами

➕ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
➖ (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
✖️ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i

Деление комплексных чисел является наиболее сложной операцией. Для начала разберём, что такое комплексно-сопряжённые числа. Это числа, при перемножении которых мы избавляемся от мнимой части. Например, комплексно-сопряжённое число для a + bi — это a - bi. Перемножим их:

(a + bi)(a - bi) = a² - abi + abi - (bi)² = a² + b²

⭐️ Теперь перейдём к делению

(a + bi) / (c + di)

Домножим в знаменателе на комплексно-сопряжённое к нему число. Т. е. на (c — di);
Также нужно умножить и числитель. В результате получим:

➗(a + bi)(c - di) / (c² + d²) = (ac - adi + bci + bd) / (c² + d²) = (ac + db) / (c² + d²) + (bc — ad) / (c² + d²)i

Напоминалка: i² = -1

📢 Math || #простым_языком

📢 Math || #шпоры

📢 Math || #цитаты

1️⃣ Представление комплексных чисел

Чаще всего комплексные числа записываются как z. Представим точку на комплексной плоскости с координатами (a, b). Мы уже знаем, что можем представить это как a + bi (см. этот пост). Это чем-то схоже на прямоугольную с.к. Кроме того, эту точку мы можем представлять в полярной с.к. Это делается так: (φ, r) => r∠φ.

Как перевести точку из `a + bi` в `r∠φ` и наоборот?

Мы уже знаем как переводить из прямоугольной с.к. в полярную. Тогда φ = arctan(b/a), r = √(a^2 + b^2).
Чтобы из r φ выразить в привычном виде (a + bi):

a = r • cos(φ)
b = r • sin(φ) • i. z = r • cos(φ) + r • sin(φ) • i = r • (cos(φ) + sin(φ) • i)

2️⃣ Новые функции в комплексной плоскости

🗣 arg(z) — главный аргумент. Из комплексного числа, выражает значение угла φ заключенный между осью ох и вектором этого числа. Значение это функции ∊ (-π, π]

🗣 Arg(z) — аргумент. Arg(z) = arg(z) + 2πn. Функция возвращает все возможные значения угла φ.

🗣 re(z) (Сокращение от real) — функция возвращает вещественную часть комплексного числа; re(a + bi) = a.

🗣 im(z) (Сокращение от imagine)— функция возвращает мнимую часть комплексного числа; im(a + bi) = b.

🗣 |z| — модуль комплексного числа. Длина отрезка соединяющего начало координат и точку с координатами (a, b). |a + bi|² = a² + b²