↗️ Полярная система координат: перевод в параметрическую

1️⃣ Для перевода координат точки из полярной с.к. в прямоугольную с.к. потребуется знание тригонометрии. У нас есть точка с координатами записанными в полярной с.к. (r, θ), опустим перпендикуляр на полярную ось. У нас получился прямоугольный треугольник и один из его углов равен θ, тогда противолежащий катет равен sin(θ) • r. а прилежащий cos(θ) • r.

Не трудно провести аналогию с прямоугольной с.к. где Y противолежащий катет, а Х прилежащий.

X = cos(θ)*r
Y = sin(θ)*r

2️⃣ Теперь будем переводить график из полярной с.к. в параметрическую и декартовую,  на примере графика r = tan(θ).

В полярной системе координат график выглядит как r = f(θ), тогда положение по Х = cos(θ)*f(θ), а по Y = sin(θ)*f(θ). В нашем случае

X = cos(θ)*tan(θ)
Y = sin(θ)*tan(θ)

θ можно заменить на некий параметр, пускай будет t. Тогда в параметрической системе координат.

Х = cos(t)*f(t)   X = cos(t)*tan(t)
Y = sin(t)*f(t)    Y = sin(t)*tan(t)

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

↗️ Полярная система координат: перевод в декартовую

В прошлом посте мы научились переводить полярную с.к. в параметрическую, осталось перевести параметрическую в декартовую, ну а это уже тоже умеем делать. и если все перевести то получиться:

y = sin(g⁻¹(x)) • f(g⁻¹(x))
g(x) = cos(x) • f(x)
g⁻¹, это обратная функция от g

🔜 Ну а в нашем случае обратная функция от cos(x) • tan(x) это arcsin(x)

y = sin(arcsin(x)) • tan(arcsin(x)) = x • tan(arcsin(x))

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #цитаты

🔃 Из прямоугольной в полярную с.к.

Есть координаты точки заданные в прямоугольной с.к. (х, у). Что бы перевести координаты в полярную с.к. надо достроить отрезок от центра координат до точки. Тогда длина отрезка рассчитывается по теореме Пифагора r = √(x^2 + y^2) . Угол между осью Ох и отрезком равен θ = arctan(y / x).

r = √(x² + y²)
θ = arctan(y / x).

😎 Теперь переведём из параметрической с.к. в полярную

х = g(t)
y = h(t)

Разберём на примере графика параболы

g(t) = t
h(t) = t^2

Тогда

r = √(x² + y) = √(g(t)² + h(t)²).
θ = arctan(h(t) / g(t))

Выразим значение параметра t из θ, взяв обратную функцию.

t = f⁻¹(tanθ)
f(х) = h(x) / g(x)

Всё соединяем во едино; Тогда график параболы в полярной с.к. будет выглядеть

r = √(g(f⁻¹(tan θ))² + h(f⁻¹(tan θ))²)
r = √((tan θ)² + (tan θ)⁴)

🤔 Перевод из декартовой с.к. в полярную

Для этого достаточно перевести в параметрическую, а это делается не трудно. У нас есть функция f(x), пускай x = t тогда y = f(t):

x = t
y = f(t)
х = g(t) = t
y = h(t) = f(t)

Подставив в формулу которую уже вывели получим:

r = √(v⁻¹(tanθ) + f(v⁻¹(tanθ))²)
v = f(x) \ x

📢 Math || #углублённо

🟪 В канале есть #хэштеги

Вы можете в подписи к посту нажимать на "#мемы", "#простым_языком" и др. Вы увидете все посты с тем же #.

📢 Math || #новости

🫥 Что такое комплексные числа?

В школьной математике когда проходят корни рассказывают что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но когда люди решали кубические уравнения они столкнулся с отрицательными корнями √(-a); Тогда решили сделать так, √(a * (-1)) = √a * √-1. Сделав такую замену продолжали считать и в конце решения все √-1 сокращались.

Предложили сделать замену √-1 на i, мнимую единицу. Так и появились мнимые числа. Мнимое число выглядит как a*i, где а это коэффициент.

Но мнимые числа не решили всю проблему. Допустим надо посчитать корень из i. Тут и выступают на сцену комплексные числа. Комплексные числа это числа вида a + bi. Ну а √i = √(2)/2 + √(2)/2 * i, это первый корень, а второй корень = -√(2)/2 - √(2)/2 * i

🫥 Комплексная плоскость

Если раньше для записи любого числа обходились числовой прямой, то вот для того что бы записать комплексные числа придумали комплексную плоскость. Её можно сравнить с прямоугольной с.к. где по оси Ох расставлены действительные числа, а по оси Оу расставлены мнимые числа. Если надо поставить некое число a + bi тогда ставим в точку с координатами (a, b).

Множество комплексных чисел обозначается С

📢 Math || #простым_языком

📢 Math || #шпоры

📢 Math || #мемы

ℹ️ Арифметические действия над комплексными числами

➕ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
➖ (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
✖️ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i

Деление комплексных чисел является наиболее сложной операцией. Для начала разберём, что такое комплексно-сопряжённые числа. Это числа, при перемножении которых мы избавляемся от мнимой части. Например, комплексно-сопряжённое число для a + bi — это a - bi. Перемножим их:

(a + bi)(a - bi) = a² - abi + abi - (bi)² = a² + b²

⭐️ Теперь перейдём к делению

(a + bi) / (c + di)

Домножим в знаменателе на комплексно-сопряжённое к нему число. Т. е. на (c — di);
Также нужно умножить и числитель. В результате получим:

➗(a + bi)(c - di) / (c² + d²) = (ac - adi + bci + bd) / (c² + d²) = (ac + db) / (c² + d²) + (bc — ad) / (c² + d²)i

Напоминалка: i² = -1

📢 Math || #простым_языком

📢 Math || #шпоры

📢 Math || #цитаты

1️⃣ Представление комплексных чисел

Чаще всего комплексные числа записываются как z. Представим точку на комплексной плоскости с координатами (a, b). Мы уже знаем, что можем представить это как a + bi (см. этот пост). Это чем-то схоже на прямоугольную с.к. Кроме того, эту точку мы можем представлять в полярной с.к. Это делается так: (φ, r) => r∠φ.

Как перевести точку из `a + bi` в `r∠φ` и наоборот?

Мы уже знаем как переводить из прямоугольной с.к. в полярную. Тогда φ = arctan(b/a), r = √(a^2 + b^2).
Чтобы из r φ выразить в привычном виде (a + bi):

a = r • cos(φ)
b = r • sin(φ) • i. z = r • cos(φ) + r • sin(φ) • i = r • (cos(φ) + sin(φ) • i)

2️⃣ Новые функции в комплексной плоскости

🗣 arg(z) — главный аргумент. Из комплексного числа, выражает значение угла φ заключенный между осью ох и вектором этого числа. Значение это функции ∊ (-π, π]

🗣 Arg(z) — аргумент. Arg(z) = arg(z) + 2πn. Функция возвращает все возможные значения угла φ.

🗣 re(z) (Сокращение от real) — функция возвращает вещественную часть комплексного числа; re(a + bi) = a.

🗣 im(z) (Сокращение от imagine)— функция возвращает мнимую часть комплексного числа; im(a + bi) = b.

🗣 |z| — модуль комплексного числа. Длина отрезка соединяющего начало координат и точку с координатами (a, b). |a + bi|² = a² + b²

📢 Math || #мемы

🌟 Арифметические действия над комплексными числами в полярном виде

У нас есть число, записанное как z₁ = a + b×i и z₂ = c + d×i. Изначально рассмотрим умножение z₁ × z₂, переведём каждое число в полярный вид r₁∠φ₁ и r₂∠φ₂ (это мы уже разбирали в прошлом посте)

φ = arctan(b/a)
r = √(a² + b²)

Подставим в формулу и получим

φ₁ = arctan(b/a)    r₁ = √(a² + b²)
φ₂ = arctan(c/d)     r₂ = √(c² + d²)
z₁ = r₁∠φ₁
z₂ = r₂∠φ₂
z₃ = z₁ × z₂ = (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Теперь новое число переведём в полярный вид.

φ₃ = arctan((ad + bc)/(ac - bd))
r₃ = √((ac - bd)² + (ad + bc)²) = √(a²×c² - 2×ac×bd + b²×d² + a²×d² + 2×ad×bc + b²×c²)
r₃ = √(a²(c² + d²) + b²(d² + c²))
r₃ = √(a² + b²) × √(c² + d²)

Вспомним, чему равно r₂ и r₁

r₂ = √(c² + d²)
r₁ = √(a² + b²)

Тут можно заметить, что r₃ = r₁ × r₂

🤔 Предположим, что φ₃ = φ₁ + φ₂, подставим сюда значения, которые получили. arctan((ad + bc)/(ac - bd)) = arctan(b/a) + arctan(d/c).
Сумма двух арктангенсов равна arctan(X) + arctan(Y) = arctan((X + Y)/(1 - XY)), вместо X у нас b/a, а вместо Y у нас d/c. Тогда arctan(b/a) + arctan(d/c) = arctan((b/a + d/c) / (1 - b/a×d/c)) = arctan(((bc + ad)/ac)/((ac - bd)/ac)) = arctan((bc + ad)/(ac - bd)). Наше предположение оказалось верным, значит φ₃ = φ₁ + φ₂. Составим число в полярном виде.

φ₃ = φ₁ + φ₂
r₃ = r₁ × r₂
z₃ = z₂ × z₁ = r₁∠φ₁ × r₂∠φ₂ = r₃∠φ₃
r₁∠φ₁ × r₂∠φ₂ = r₃∠φ₃

➗ Теперь разберёмся с делением, зная формулу умножения чисел в полярном виде, мы можем деление представить как, z₁ × z₂⁻¹, z₁ = a + bi, z₂ = c + di.
Переведём в полярный вид

φ₁ = arctan(b/a)   r₁ = √(a² + b²)
φ₂ = arctan(d/c)   r₂ = √(c² + d²)
z₁ = r₁∠φ₁
z₂ = r₂∠φ₂
z₃ = z₂⁻¹ = 1/z₂ = 1/(c + di) = c/(c² + d²) - d/(c² + d²)×i

φ₃ = arctan(- d/(c² + d²) / c/(c² + d²)) = arctan(-d/c) = - arctan(d/c) = -φ₂
r₃ = √((-d/(c² + d²))² + c/(c² + d²)²) = √(1 / (c² + d²)) = (√(c² + d²))⁻¹ = r₂⁻¹
z₃ = z₂⁻¹ = (r₂⁻¹)∠(-φ₂)

Мы получили, что если некое число в полярном виде возвести в минус первую степень, то угол изменится на отрицательный, а расстояние надо возвести в минус первую степень. Чтобы найти результат деления, осталось подставить в формулу умножения z₁ и z₂⁻¹.

r₁∠φ₁ × (r₂⁻¹)∠(-φ₂) = (r₁ × r₂⁻¹)∠(φ₁ - φ₂) = (r₁/r₂)∠(φ₁ - φ₂).

📝 Подведём итоги:
При умножении двух чисел вида z₁ = r₁∠φ₁ и z₂ = r₂∠φ₂, мы просто умножаем расстояние и суммируем углы.
При делении двух чисел вида z₁ = r₁∠φ₁ и z₂ = r₂∠φ₂, мы просто делим расстояние и вычитаем углы.
Именно поэтому умножение и деление легче делать в полярном виде.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

🔢 Корни разных степеней

Кроме квадратных корней, которые изучаются в школе, существует бесконечное множество других. Для начала разберём, что вообще такое корень n-ой степени. Это операция над числом a. Допустим ответ = b. Значит bⁿ = a. Обычно корень n-ой степени обозначается как ⁿ√a. Также корень n-ой степени можно записать с помощью степени: ⁿ√a = a^(¹/ₙ). Проверим: мы должны возвести ответ в степень n и получить a. (a^(¹/ₙ))ⁿ = a^(n/n) = a¹ = a.

ⁿ√a = a^(¹/ₙ)
"Корень n-ой степени числа — это число в степени 1/n"

Также корни бывают двух типов:
1️⃣ Арифметические: арифметический корень у числа только неотрицательный и действительный. √4 = 2.
2️⃣ Алгебраические: алгебраический корень возвращает множество значений. Если каждое значение возвести в ту степень, которой был корень, то мы получим изначальное число. Бывает несколько. Например, у 4 это -2 и 2.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

🟡 Алгебраические корни из комплексного числа

Есть комплексное число вида z, необходимо извлечь алгебраический корень k-ой степени, где k ∈ ℤ, то есть найти все числа, которые в степени k дают число z. Для начала переведём число в полярный вид, поскольку при умножении и делении удобнее работать с числами в этом виде. Для нахождения угла воспользуемся функцией arg, а для определения длины вектора используем |z|.

φ = arg(z)
r = |z|

Пусть первый алгебраический корень равен r₁∠φ₁. Возведём его в степень k, и мы должны получить r∠φ. По правилам умножения чисел в полярном виде углы складываются, а расстояния перемножаются, тогда:

(r₁∠φ₁)ᵏ = (r₁ᵏ)∠(k × φ₁) = r∠φ

Получаем:

r₁ᵏ = r
φ₁ × k = φ

Отсюда:

r₁ = ᵏ√r
φ₁ = φ / k

Мы получили первый корень:

ᵏ√z = ᵏ√r ∠ (φ / k)

С другой стороны, мы можем прибавить к изначальному углу числа z значение 2π, и само число не изменится. Однако при извлечении корня получим другое значение, а именно:

r₂ = ᵏ√r
φ₂ = (φ + 2π) / k = φ / k + 2π / k

Таким образом, второй корень:

ᵏ√z = ᵏ√r ∠ (φ / k + 2π / k)

Можно заметить, что второй корень отличается от первого только значением угла. Следуя аналогии, прибавим к углу числа z значение 2π × n, где n — целое число. Вычислим значение корня:

rₙ₊₁ = ᵏ√r
φₙ₊₁ = (φ + 2π × n) / k = φ / k + 2π / k × n

🟡 Вывод: На первом этапе мы нашли два корня k-ой степени из комплексного числа z, используя полярную форму числа. Эти корни отличаются только значением угла.

ᵏ√()ₙ — это алгебраический корень, а n означает номер элемента из множества.

📢 Math || #углублённо