👻 Таблица приведения #1

Начнём с основ: что такое таблица приведения и как она работает?

Пример: найдём sin(150°). Представим 150 как сумму 90° и 60°:

sin(150°) = sin(90° + 60°)

По формуле приведения sin(90° + α) = cos(α), получаем:

sin(150°) = cos(60°) = 0.5

Но откуда взялась эта формула? Разберёмся в этом посте.

1⃣sin(90° - α) и cos(90° - α)

Представим прямоугольный треугольник ABC, где угол A = α.
AB — прилежащий катет, BC — противолежащий катет, AC — гипотенуза.

sin(α) = BC / AC,
cos(α) = AB / AC.
Угол ACB равен 90° - α. Тогда:

sin(90° - α) = AB / AC = cos(α),
cos(90° - α) = BC / AC = sin(α).

ЧТД.

2⃣sin(-α) и cos(-α).

Представим тригонометрическую окружность.
Отрезок OA — исходный, а OB лежит под углом -α. Это можно представить, как зеркальное отражение OA относительно оси Ox.

При этом:
- Проекция на ось Ox не изменится: cos(-α) = cos(α).
- Проекция на ось Oy сменит знак: sin(-α) = -sin(α).

3⃣sin(90° + α) и cos(90° + α).

Используем уже выведенные формулы:
Разобьём α как -(-α). Тогда:

sin(90° + α) = sin(90° - (-α)) = cos(-α) = cos(α)

Аналогично:

cos(90° + α) = cos(90° - (-α)) = sin(-α) = -sin(α)

❔Вывод

Мы вывели базовые формулы приведения:

- sin(90° - α) = cos(α)
- cos(90° - α) = sin(α)
- sin(-α) = -sin(α)
- cos(-α) = cos(α)
- sin(90° + α) = cos(α)
- cos(90° + α) = -sin(α).

Остальные формулы приведения разберём в следующем посте.

⚫️Math || #цитаты

👻 Таблица приведений #2

В прошлый раз мы вывели основные формулы приведения. Теперь с их помощью выведем остальные.

Также стоит помнить, что прибавление или вычитание 360° от угла α не изменит положение точки на тригонометрической окружности, а значит, все тригонометрические функции сохранят свои значения:

sin(α ± n * 360°) = sin(α)
cos(α ± n * 360°) = cos(α)

1⃣sin(180° - α), cos(180° - α)

sin(180° - α) = sin(90° + (90° - α)) = cos(90° - α) = sin(α).
cos(180° - α) = cos(90° + (90° - α)) = -sin(90° - α) = -cos(α).

2⃣sin(180° + α), cos(180° + α)

sin(180° + α) = sin(90° + (90° + α)) = cos(90° + α) = -sin(α).
cos(180° + α) = cos(90° + (90° + α)) = -sin(90° + α) = -cos(α).

3⃣sin(270° - α), cos(270° - α)

sin(270° - α) = sin(90° + (180° - α)) = cos(180° - α) = -cos(α).
cos(270° - α) = cos(90° + (180° - α)) = -sin(180° - α) = -sin(α).

4⃣sin(270° + α), cos(270° + α)

sin(270° + α) = sin(90° + (180° + α)) = cos(180° + α) = -cos(α).
cos(270° + α) = cos(90° + (180° + α)) = -sin(180° + α) = sin(α).

5⃣sin(360° - α), cos(360° - α)

sin(360° - α) = sin(180° + (180° - α)) = -sin(180° - α) = -sin(α).
cos(360° - α) = cos(180° + (180° - α)) = -cos(180° - α) = cos(α).

❔Вывод:
Мы вывели оставшиеся формулы приведения:

- sin(180° - α) = sin(α), cos(180° - α) = -cos(α)
- sin(180° + α) = -sin(α), cos(180° + α) = -cos(α)
- sin(270° - α) = -cos(α), cos(270° - α) = -sin(α)
- sin(270° + α) = -cos(α), cos(270° + α) = sin(α)
- sin(360° - α) = -sin(α), cos(360° - α) = cos(α).

⚫️Math || #простым_языком

⚫️Math || #мемы

👻 Таблица приведений #3

Мы вывели все формулы приведения для синуса и косинуса, но у нас есть ещё тангенс и котангенс. Для их вывода используем соотношения tg(x) = sin(x) / cos(x), ctg(x) = cos(x) / sin(x) и ранее полученные формулы.

1⃣tg(90° - α), ctg(90° - α)

tg(90° - α) = sin(90° - α) / cos(90° - α) = cos(α) / sin(α) = ctg(α).
ctg(90° - α) = tg(90° - α)⁻¹ = ctg(α)⁻¹ = tg(90° - α).

2⃣tg(-α), ctg(-α)

tg(-α) = sin(-α) / cos(-α) = -sin(α) / cos(α) = -tg(α).
ctg(-α) = tg(-α)⁻¹ = (-tg(α))⁻¹ = -ctg(α).

3⃣tg(90° + α), ctg(90° + α)

tg(90° + α) = tg(90° - (-α)) = ctg(-α) = -ctg(α).
ctg(90° + α) = (-ctg(α))⁻¹ = -tg(α).

4⃣tg(180° - α), ctg(180° - α)

tg(180° - α) = tg(90° + (90° - α)) = -ctg(90° - α) = -tg(α).
ctg(180° - α) = (-tg(α))⁻¹ = -ctg(α).

5⃣tg(180° + α), ctg(180° + α)

tg(180° + α) = tg(90° + (90° + α)) = -ctg(90° + α) = -(-tg(α)) = tg(α).
ctg(180° + α) = tg(α)⁻¹ = ctg(α).

6⃣tg(270° - α), ctg(270° - α)

tg(270° - α) = tg(180° + (90° - α)) = tg(90° - α) = ctg(α).
ctg(270° - α) = ctg(α)⁻¹ = tg(α).

7⃣tg(270° + α), ctg(270° + α)

tg(270° + α) = tg(180° + (90° + α)) = tg(90° + α) = -ctg(α).
ctg(270° + α) = (-ctg(α))⁻¹ = -tg(α).

8⃣tg(360° - α), ctg(360° - α)

tg(360° - α) = tg(-α) = -tg(α).
ctg(360° - α) = ctg(-α) = -ctg(α).

❔Вывод
Конечно, проще выучить их, но понимание процесса вывода этих формул не будет лишним. Если что-то забудется, вы всегда сможете вывести нужные формулы самостоятельно.

⚫️Math || #простым_языком

⚫️Math || #мемы

🚩Радианы: с чем их едят

Конечно измерять угол в градусах это удобно и понятно, но почему именно в одной окружности 360 градусов, а не 100? Вот если бы вы прилетели к жителям меркурия (допустим они есть и они разумны) то вы не сможете понять друг друга потому что у них угол измеряется, например в кернусах и в одной окружности 27 кернусов, а у нас в градусах. Чтобы избежать такой проблемы придумали радианы. Радианы — это такая единица измерения, которая нигде бы не отличалась

Представим окружность. Радиус: r. Центр: O. Из центра проведём 2 луча, которые пересекают окружность в точках A и B. Как узнать угол между этими лучами? Для начала: мы можем найти длину дуги от A до B. Также мы знаем радиус. Изменяя радиус в n раз, длина дуги AB изменится также в n раз, то есть отношение дуги АВ к радиусу r постоянное. Давайте попробуем связать 2 этих переменных:

AB / r = α

Это значит, что какую бы мы не взяли окружность, проведя два луча под одним углом отношение дуги заключённой между ними к радиусу постоянно. Это отношение и есть значением угла в радианах

🙂В чём измеряются радианы? В метрах? В градусах?

φ = AB / r; AB — длина, допустим метры. r — также длина, также представим что метры. Значит φ = м/м = 1. В этом и преимущество радиан. У них нет собственной величины. Это просто числовое значение

🙂Сколько радиан в окружности?

Напомню: φ = AB / r. В данной ситуации AB — вся окружность. Мы знаем, что длина окружности = 2πr. Подставляем в формулу:

φ = AB / r;
AB = 2πr;
φ = 2πr / r = 2π;

Значит в окружности 2π радиан

🙂Градусы в радианы, радианы в градусы

360° =  2π rad
1° = 2π / 360 rad ≈ 0,017 rad
1 rad = 360/2π °  ≈ 57.3°

🟦 Вывод

Если вы не совсем поняли, то читайте по 1 абзацу и пытайтесь сами вывести то, что выведено в посте. Радианы — очень полезная величина в математике и физике, которая упрощает многие вычисления

⚫️Math || #простым_языком

⚫️Math || #мемы

Продолжаем тему тригонометрии.

🚩Тригонометрические уравнения

Пример обычного уравнения с решением:

x - 5 = 10;
x = 10 + 5;
x = 15;

Но как решить такое уравнение: sin(x) = 0.5?

🟦arc-функции

У каждой тригонометрической функции есть обратная. Парочку примеров;

sin(x) -> arcsin(x)
cos(x) -> arccos(x)

Из этого следует, что F(arcF(x)) = x. sin(arcsin(x)) = x. Сами arc-функции возвращают значение от -π/2 до π/2. Ответ арк-функции — это угол прямоугольного треугольника с заданным отношением сторон

🟦Правило решения тригонометрических уравнений

Если посмотреть на график синуса, то можно заметить, что на одном у у нас несколько х. Дело в том, что sin(x + 360°) = sin(x). В радианах: sin(x + 2π) = sin(x).

Поэтому решение тригонометрических уравнений выглядит не совсем очевидно. Рассмотрим опять же на примере синуса:

sin(x) = a;
x = arcsin(a) + 2πk

Где k — целое число

🟦 Что такое k?

Если рассмотреть график синуса, то точка с y от -1 до 1 повторяется бесконечность раз с интервалом в 2π. Поэтому k — это "порядковый номер" точки на, например синусоиде.

🚩Сумма функций, функция суммы

(Алгебра — 10 класс)

В этом посте мы кратко рассмотрим 8 функций. Вывод пока трогать не будем

▫Синус разности / суммы

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α)
sin(α - β) = sin(α)cos(β) - sin(β)cos(α)

▫Косинус разности / суммы

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

▫Сумма / разность синусов

sin(α) + sin(β) = 2sin( (α+β)/2 ) • cos( (α-β)/2 )
sin(α) - sin(β) = 2sin( (α-β)/2 ) • cos( (α+β)/2 )

▫Сумма / разность косинусов

cos(α) + cos(β) = 2cos( (α+β)/2 ) • cos( (α-β)/2 )
cos(α) - cos(β) = -2 • sin( (α+β)/2 ) • sin( (α+β)/2 )

Будем разбирать их вывод?

↘️Почему посты выходят так редко?

Раньше я старался поддерживать посты каждую неделю. Теперь появилось несколько важных задач. И кроме этого я все-таки школьник

Не думайте, что я забил на канал. В будущем посты будут выходить с лучшей периодичностью.

❤️ Math ⚫️

Синус суммы: Вывод

Формула sin(α + β) выводится геометрически. Для начала проведём углы α и β как на рисунке. Далее проведём прямоугольник OBCD. На пересечении сторон угла с прямоугольником поставим точки K и L, так, чтобы ∠KLO = ∠O = ∠B = ∠C = ∠D = 90 градусов. После этого соединим эти 2 точки. Условие построено

1⃣Обозначем то, что ищем:

∠BOK = 90° - α - β.
OB = cos(∠BOK) × OK = cos(90°  - α - β) × OK
По формулам привидениям: OB = sin(α + β) × OK;
Также: OB = CL + LD

2⃣Найдём OL:

cos(β) = OL / OK;
OL = cos(β) × OK;

Найдём LD:

sin(α) = LD / OL;
LD = sin(α) × OL = sin(α) × cos(β) × OK

3⃣Найдём KL:

sin(β) = KL / OK;
KL = sin(β) × OK

Найдем ∠CLK:

∠OLD = 90° - α;
∠CLK = 180° - 90° - ∠OLD = 90° - (90° - α) = α

Найдём CL:

cos(∠CLK) = CL / KL;
CL = cos(α) × KL = cos(α) × sin(β) × OK

➡️ Подставим все известные значения:

OB = CL + LD
sin(α + β) × OK = cos(α) × sin(β) × OK + sin(α) × cos(β) × OK
sin(α + β) × OK = (cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)) × OK
sin(α + β) = cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

🔢 Косинус суммы

Зная синус суммы, косинус суммы выводиться чисто алгебраически. Необходимо знать:

cos(φ) = sin(90° - φ)
sin(φ) = cos(90° - φ)
sin(φ) = -sin(φ)
cos(φ) = cos(φ)
sin(α + β) = cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)

Сам вывод:

cos(α + β) = sin(90° - α - β) =
sin((90°-α) + (-β)) =
cos(90° - α)sin(-β) + sin(90° - α)cos(-β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

⚫️Math || #углублённо

🤔 Есть какой-то вопрос или задача по математике?

Пиши, поможем в чате или даже напишем на эту тему пост

⚫️Math || #новости

⚫️Math || #мемы