🚩Сумма функций, функция суммы

(Алгебра — 10 класс)

В этом посте мы кратко рассмотрим 8 функций. Вывод пока трогать не будем

▫Синус разности / суммы

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α)
sin(α - β) = sin(α)cos(β) - sin(β)cos(α)

▫Косинус разности / суммы

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

▫Сумма / разность синусов

sin(α) + sin(β) = 2sin( (α+β)/2 ) • cos( (α-β)/2 )
sin(α) - sin(β) = 2sin( (α-β)/2 ) • cos( (α+β)/2 )

▫Сумма / разность косинусов

cos(α) + cos(β) = 2cos( (α+β)/2 ) • cos( (α-β)/2 )
cos(α) - cos(β) = -2 • sin( (α+β)/2 ) • sin( (α+β)/2 )

Будем разбирать их вывод?

↘️Почему посты выходят так редко?

Раньше я старался поддерживать посты каждую неделю. Теперь появилось несколько важных задач. И кроме этого я все-таки школьник

Не думайте, что я забил на канал. В будущем посты будут выходить с лучшей периодичностью.

❤️ Math ⚫️

Синус суммы: Вывод

Формула sin(α + β) выводится геометрически. Для начала проведём углы α и β как на рисунке. Далее проведём прямоугольник OBCD. На пересечении сторон угла с прямоугольником поставим точки K и L, так, чтобы ∠KLO = ∠O = ∠B = ∠C = ∠D = 90 градусов. После этого соединим эти 2 точки. Условие построено

1⃣Обозначем то, что ищем:

∠BOK = 90° - α - β.
OB = cos(∠BOK) × OK = cos(90°  - α - β) × OK
По формулам привидениям: OB = sin(α + β) × OK;
Также: OB = CL + LD

2⃣Найдём OL:

cos(β) = OL / OK;
OL = cos(β) × OK;

Найдём LD:

sin(α) = LD / OL;
LD = sin(α) × OL = sin(α) × cos(β) × OK

3⃣Найдём KL:

sin(β) = KL / OK;
KL = sin(β) × OK

Найдем ∠CLK:

∠OLD = 90° - α;
∠CLK = 180° - 90° - ∠OLD = 90° - (90° - α) = α

Найдём CL:

cos(∠CLK) = CL / KL;
CL = cos(α) × KL = cos(α) × sin(β) × OK

➡️ Подставим все известные значения:

OB = CL + LD
sin(α + β) × OK = cos(α) × sin(β) × OK + sin(α) × cos(β) × OK
sin(α + β) × OK = (cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)) × OK
sin(α + β) = cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

🔢 Косинус суммы

Зная синус суммы, косинус суммы выводиться чисто алгебраически. Необходимо знать:

cos(φ) = sin(90° - φ)
sin(φ) = cos(90° - φ)
sin(φ) = -sin(φ)
cos(φ) = cos(φ)
sin(α + β) = cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)

Сам вывод:

cos(α + β) = sin(90° - α - β) =
sin((90°-α) + (-β)) =
cos(90° - α)sin(-β) + sin(90° - α)cos(-β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

⚫️Math || #углублённо

🤔 Есть какой-то вопрос или задача по математике?

Пиши, поможем в чате или даже напишем на эту тему пост

⚫️Math || #новости

⚫️Math || #мемы

🔢 Вывод оставшихся формул

Функции разности выводяться несложно. Разность заменяется на сумму, раскладывается по формуле суммы и раскрывается по чётности и нечётности функций

sin(α - β) = sin(α + (-β)) = sin(α)cos(-β) + sin(-β)cos(α) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos(α)cos(-β) - sin(α)sin(-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

В следующих постах выведем сумму и разность синуса и косинуса

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

📝 Тригонометрия через формулу Эйлера

Ранее мы с вами разбирали, что такое формула Эйлера (см. пост). С помощью этой формулы, можно выводить другие, связанные с тригонометрией
Выразим синус и косинус из формулы:

sin((a+b)/2) = ( e^(i(a+b)/2) - e^(-i(a+b)/2) ) / 2i
cos((a-b)/2) = ( e^(i(a-b)/2) + e^(-i(a-b)/2)) / 2

x = прод числителей = e^ia + e^ib - e^-ib - e^-ia

2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) = x / 2i
x / 2i = sin(a) + sin(b)

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

🌀 Что такое фракталы?

Фракталы — это уникальные геометрические объекты, которые отличаются самоподобием: их части выглядят похожими на целое, независимо от масштаба. Другими словами, увеличивая любую часть фрактала, мы можем увидеть структуру, похожую на всю фигуру.

Основные свойства фракталов:

🔴Самоподобие: повторяющаяся структура на разных уровнях масштабирования.
🟣Фрактическая размерность: обычно не целое число, показывает сложность фигуры.

История и примеры:

↘️Первый известный фрактал — кривая Коха (или кривая Коха-Шнурка), предложенная Бенуа Мандельбротом.
☑️Множество Мандельброта, треугольник Серпинского, лестницы Коха - различные фракталы

Почему это интересно?

Фракталы находят применение в природе (например, в структуре деревьев, береговых линиях, облаках), а также в компьютерной графике, искусстве и научных исследованиях.

Видео взято с @WildMathing