Синус суммы: Вывод

Формула sin(α + β) выводится геометрически. Для начала проведём углы α и β как на рисунке. Далее проведём прямоугольник OBCD. На пересечении сторон угла с прямоугольником поставим точки K и L, так, чтобы ∠KLO = ∠O = ∠B = ∠C = ∠D = 90 градусов. После этого соединим эти 2 точки. Условие построено

1⃣Обозначем то, что ищем:

∠BOK = 90° - α - β.
OB = cos(∠BOK) × OK = cos(90°  - α - β) × OK
По формулам привидениям: OB = sin(α + β) × OK;
Также: OB = CL + LD

2⃣Найдём OL:

cos(β) = OL / OK;
OL = cos(β) × OK;

Найдём LD:

sin(α) = LD / OL;
LD = sin(α) × OL = sin(α) × cos(β) × OK

3⃣Найдём KL:

sin(β) = KL / OK;
KL = sin(β) × OK

Найдем ∠CLK:

∠OLD = 90° - α;
∠CLK = 180° - 90° - ∠OLD = 90° - (90° - α) = α

Найдём CL:

cos(∠CLK) = CL / KL;
CL = cos(α) × KL = cos(α) × sin(β) × OK

➡️ Подставим все известные значения:

OB = CL + LD
sin(α + β) × OK = cos(α) × sin(β) × OK + sin(α) × cos(β) × OK
sin(α + β) × OK = (cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)) × OK
sin(α + β) = cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

🔢 Косинус суммы

Зная синус суммы, косинус суммы выводиться чисто алгебраически. Необходимо знать:

cos(φ) = sin(90° - φ)
sin(φ) = cos(90° - φ)
sin(φ) = -sin(φ)
cos(φ) = cos(φ)
sin(α + β) = cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β)

Сам вывод:

cos(α + β) = sin(90° - α - β) =
sin((90°-α) + (-β)) =
cos(90° - α)sin(-β) + sin(90° - α)cos(-β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

⚫️Math || #углублённо

🤔 Есть какой-то вопрос или задача по математике?

Пиши, поможем в чате или даже напишем на эту тему пост

⚫️Math || #новости

⚫️Math || #мемы

🔢 Вывод оставшихся формул

Функции разности выводяться несложно. Разность заменяется на сумму, раскладывается по формуле суммы и раскрывается по чётности и нечётности функций

sin(α - β) = sin(α + (-β)) = sin(α)cos(-β) + sin(-β)cos(α) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos(α)cos(-β) - sin(α)sin(-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

В следующих постах выведем сумму и разность синуса и косинуса

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

📝 Тригонометрия через формулу Эйлера

Ранее мы с вами разбирали, что такое формула Эйлера (см. пост). С помощью этой формулы, можно выводить другие, связанные с тригонометрией
Выразим синус и косинус из формулы:

sin((a+b)/2) = ( e^(i(a+b)/2) - e^(-i(a+b)/2) ) / 2i
cos((a-b)/2) = ( e^(i(a-b)/2) + e^(-i(a-b)/2)) / 2

x = прод числителей = e^ia + e^ib - e^-ib - e^-ia

2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) = x / 2i
x / 2i = sin(a) + sin(b)

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

🌀 Что такое фракталы?

Фракталы — это уникальные геометрические объекты, которые отличаются самоподобием: их части выглядят похожими на целое, независимо от масштаба. Другими словами, увеличивая любую часть фрактала, мы можем увидеть структуру, похожую на всю фигуру.

Основные свойства фракталов:

🔴Самоподобие: повторяющаяся структура на разных уровнях масштабирования.
🟣Фрактическая размерность: обычно не целое число, показывает сложность фигуры.

История и примеры:

↘️Первый известный фрактал — кривая Коха (или кривая Коха-Шнурка), предложенная Бенуа Мандельбротом.
☑️Множество Мандельброта, треугольник Серпинского, лестницы Коха - различные фракталы

Почему это интересно?

Фракталы находят применение в природе (например, в структуре деревьев, береговых линиях, облаках), а также в компьютерной графике, искусстве и научных исследованиях.

Видео взято с @WildMathing

🔺 Треугольник Серпинского

Фракталы — это не только загадочные узоры, но и довольно простые инструкции. Один из самых известных примеров — треугольник Серпинского, и его можно построить даже на листе бумаги

Алгоритм построения:

1️⃣Нарисуй обычный равносторонний треугольник.

2️⃣Соедини середины сторон — получится ещё один треугольник в центре.

3️⃣Закрась другим цветом центральный треугольник. Останутся 3 угловых

4️⃣Повтори тот же процесс с каждым из оставшихся треугольников:
- Соедини середины сторон
- Удали центральный
- И снова, и снова...

С каждой итерацией ты получаешь всё больше треугольников, а фигура при этом остаётся в пределах начального треугольника. Фрактальная размерность треугольника Серпинского ≈ 1.585. Что это такое - разбёрем завтра

🎯 В чём фишка?

Такой треугольник — простой пример самоподобия: каждый фрагмент напоминает весь объект. Идеально для иллюстрации, что сложность может рождаться из элементарных правил.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

🔹 Что такое размерность?

Мы все интуитивно знаем, что такое "размерность":

• Точка — 0D: нет длины, никуда не идёт
• Линия — 1D: можно двигаться только вперёд-назад
• Плоскость — 2D: движение влево-вправо и вверх-вниз
• Пространство — 3D: добавилась глубина

И это всё звучит логично… пока не появляются фракталы. Обычные объекты имеют целую размерность — 1, 2, 3. Но фракталы ломают систему: у них может быть нецелая размерность. Например, у треугольника Серпинского — около 1.585.

❓ Как это возможно?

Для этого нам нужна идея фрактальной (или Хаусдорфовой) размерности. Она показывает не «сколько осей», а насколько плотно объект заполняет пространство.

Интуитивно это выглядит так:

➖Линия проходит через пространство "узко" — у неё размерность 1
➖Плоскость полностью его заполняет — размерность 2
➖А фрактал — вроде и не линия, и не плоскость. Он дырявый, но ветвистый. И заполняет больше, чем просто линия, но не дотягивает до плоскости. Поэтому между 1 и 2.

В следующем посте покажем на примере, как можно вычислить такую размерность.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты #мемы