⚫️Math || #мемы

🌀 Что такое фракталы?

Фракталы — это уникальные геометрические объекты, которые отличаются самоподобием: их части выглядят похожими на целое, независимо от масштаба. Другими словами, увеличивая любую часть фрактала, мы можем увидеть структуру, похожую на всю фигуру.

Основные свойства фракталов:

🔴Самоподобие: повторяющаяся структура на разных уровнях масштабирования.
🟣Фрактическая размерность: обычно не целое число, показывает сложность фигуры.

История и примеры:

↘️Первый известный фрактал — кривая Коха (или кривая Коха-Шнурка), предложенная Бенуа Мандельбротом.
☑️Множество Мандельброта, треугольник Серпинского, лестницы Коха - различные фракталы

Почему это интересно?

Фракталы находят применение в природе (например, в структуре деревьев, береговых линиях, облаках), а также в компьютерной графике, искусстве и научных исследованиях.

Видео взято с @WildMathing

🔺 Треугольник Серпинского

Фракталы — это не только загадочные узоры, но и довольно простые инструкции. Один из самых известных примеров — треугольник Серпинского, и его можно построить даже на листе бумаги

Алгоритм построения:

1️⃣Нарисуй обычный равносторонний треугольник.

2️⃣Соедини середины сторон — получится ещё один треугольник в центре.

3️⃣Закрась другим цветом центральный треугольник. Останутся 3 угловых

4️⃣Повтори тот же процесс с каждым из оставшихся треугольников:
- Соедини середины сторон
- Удали центральный
- И снова, и снова...

С каждой итерацией ты получаешь всё больше треугольников, а фигура при этом остаётся в пределах начального треугольника. Фрактальная размерность треугольника Серпинского ≈ 1.585. Что это такое - разбёрем завтра

🎯 В чём фишка?

Такой треугольник — простой пример самоподобия: каждый фрагмент напоминает весь объект. Идеально для иллюстрации, что сложность может рождаться из элементарных правил.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

🔹 Что такое размерность?

Мы все интуитивно знаем, что такое "размерность":

• Точка — 0D: нет длины, никуда не идёт
• Линия — 1D: можно двигаться только вперёд-назад
• Плоскость — 2D: движение влево-вправо и вверх-вниз
• Пространство — 3D: добавилась глубина

И это всё звучит логично… пока не появляются фракталы. Обычные объекты имеют целую размерность — 1, 2, 3. Но фракталы ломают систему: у них может быть нецелая размерность. Например, у треугольника Серпинского — около 1.585.

❓ Как это возможно?

Для этого нам нужна идея фрактальной (или Хаусдорфовой) размерности. Она показывает не «сколько осей», а насколько плотно объект заполняет пространство.

Интуитивно это выглядит так:

➖Линия проходит через пространство "узко" — у неё размерность 1
➖Плоскость полностью его заполняет — размерность 2
➖А фрактал — вроде и не линия, и не плоскость. Он дырявый, но ветвистый. И заполняет больше, чем просто линия, но не дотягивает до плоскости. Поэтому между 1 и 2.

В следующем посте покажем на примере, как можно вычислить такую размерность.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты #мемы

🔴 Как измерить фрактал?

В обычной геометрии всё просто:

– линия — размерность 1
– квадрат — размерность 2
– куб — размерность 3

Но с фракталами приходится думать иначе. Вводим фрактальную размерность, которую можно рассчитать с помощью простого правила:

Формула:

D = log(N) / log(1/r)

N — сколько частей получается после разбиения
r — во сколько раз уменьшается каждая часть
D — фрактальная размерность

📌 Пример: кривая Коха (см. картинку)

1. Берём отрезок
2. Делим его на 3 части и на среднем участке строим "горку" — получается 4 отрезка, каждый в 3 раза короче исходного

➡️ Значит:

- N = 4
- r = 1/3
- D = log(4) / log(3) ≈ 1.2619

То есть кривая Коха "заполняет пространство" сильнее, чем обычная линия (1D), но не настолько, чтобы стать плоскостью (2D). Она что-то между — размерность ≈ 1.26. Фрактальная размерность — способ оценить сложность объекта. Чем выше число, тем более "ветвистый" или "заполненный" фрактал. Даже если он бесконечно тонкий.

В следующий раз разберём другие примеры — например, размерность треугольника Серпинского.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

Что такое множество Мандельброта?

Это не просто фрактал. Это набор комплексных чисел, поведение которых при итерации зависит от самого себя.

➕ Формула итерации

z₀ = 0
zₙ₊₁ = zₙ² + c

Здесь:
- zₙ — комплексное число на n-м шаге
- c — фиксированное комплексное число (оно же "точка на плоскости", которую проверяем)
- z₀ всегда начинается с нуля

Что значит “принадлежит множеству”?

Если при бесконечном повторении zₙ₊₁ = zₙ² + c значения zₙ не улетают в бесконечность* то c принадлежит множеству Мандельброта. Если zₙ уходит в бесконечность — нет.

🙂Пример:

Возьмём c = 1:
z₀ = 0
z₁ = 0² + 1 = 1
z₂ = 1² + 1 = 2
z₃ = 4 + 1 = 5 → 26 → 677 → всё, уехали в бесконечность.
Значит, c = 1 не входит в множество.

А вот c = i (мнимая единица) даёт "скачущую" последовательность, но ограниченную. Значит, входит.

📌 Важный момент:

Ты не можешь точно проверить, входит ли c в множество — ведь нужно бесконечно повторять. Поэтому на практике делают 100 – 1000 итераций, и если модуль zₙ стал слишком большим (например, |zₙ| > 2), считают, что всё, пошло в разнос.

Компьютеры это визуализируют, раскрашивая точки в зависимости от того, как быстро уходит она в бесконечность. Чем быстрее — тем ярче цвет.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы