🔴 Как измерить фрактал?

В обычной геометрии всё просто:

– линия — размерность 1
– квадрат — размерность 2
– куб — размерность 3

Но с фракталами приходится думать иначе. Вводим фрактальную размерность, которую можно рассчитать с помощью простого правила:

Формула:

D = log(N) / log(1/r)

N — сколько частей получается после разбиения
r — во сколько раз уменьшается каждая часть
D — фрактальная размерность

📌 Пример: кривая Коха (см. картинку)

1. Берём отрезок
2. Делим его на 3 части и на среднем участке строим "горку" — получается 4 отрезка, каждый в 3 раза короче исходного

➡️ Значит:

- N = 4
- r = 1/3
- D = log(4) / log(3) ≈ 1.2619

То есть кривая Коха "заполняет пространство" сильнее, чем обычная линия (1D), но не настолько, чтобы стать плоскостью (2D). Она что-то между — размерность ≈ 1.26. Фрактальная размерность — способ оценить сложность объекта. Чем выше число, тем более "ветвистый" или "заполненный" фрактал. Даже если он бесконечно тонкий.

В следующий раз разберём другие примеры — например, размерность треугольника Серпинского.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

Что такое множество Мандельброта?

Это не просто фрактал. Это набор комплексных чисел, поведение которых при итерации зависит от самого себя.

➕ Формула итерации

z₀ = 0
zₙ₊₁ = zₙ² + c

Здесь:
- zₙ — комплексное число на n-м шаге
- c — фиксированное комплексное число (оно же "точка на плоскости", которую проверяем)
- z₀ всегда начинается с нуля

Что значит “принадлежит множеству”?

Если при бесконечном повторении zₙ₊₁ = zₙ² + c значения zₙ не улетают в бесконечность* то c принадлежит множеству Мандельброта. Если zₙ уходит в бесконечность — нет.

🙂Пример:

Возьмём c = 1:
z₀ = 0
z₁ = 0² + 1 = 1
z₂ = 1² + 1 = 2
z₃ = 4 + 1 = 5 → 26 → 677 → всё, уехали в бесконечность.
Значит, c = 1 не входит в множество.

А вот c = i (мнимая единица) даёт "скачущую" последовательность, но ограниченную. Значит, входит.

📌 Важный момент:

Ты не можешь точно проверить, входит ли c в множество — ведь нужно бесконечно повторять. Поэтому на практике делают 100 – 1000 итераций, и если модуль zₙ стал слишком большим (например, |zₙ| > 2), считают, что всё, пошло в разнос.

Компьютеры это визуализируют, раскрашивая точки в зависимости от того, как быстро уходит она в бесконечность. Чем быстрее — тем ярче цвет.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

❤️‍🔥 Каникулы!!

🥇 Поздравляю всех школьников с началом летнего отдыха. Теперь можно отложить учебники и немного перевести дух.

💪 Особые пожелания тем, кому ещё предстоит сдавать экзамены держитесь, осталось недолго.

Что касается меня этим летом планирую углубляться в математику, разбирать интересные темы и, возможно, писать об этом. Если у вас есть идеи или вопросы, которые стоит осветить, предлагайте комментариях.

Кроме того, собираюсь больше времени уделять спорту: уравновешивать умственную нагрузку и физическую.

А у вас какие планы на лето?

⚫️Math || #новости

🧪 Фрактал Белоусова

Фрактал Белоусова — это не просто красивая картинка. Это результат химической реакции, которая ведёт себя как система, способная сама организовываться. Реакция Белоусова–Жаботинского стала известной потому, что в ней появляется порядок там, где ожидался хаос.

📌 Немного химии:

Во время реакции вещества по кругу превращаются друг в друга. При этом в растворе появляются цветные волны, которые двигаются, пульсируют, сталкиваются. Возникают узоры — кольца, спирали, пятна. Всё это похоже на фракталы, хотя никто их специально не рисует.

🤔 Как это связано с математикой?

Учёные используют для этого пару уравнений, которые описывают, как меняется концентрация веществ во времени и в пространстве. Вот как они устроены:

1. Сначала берут два вещества — назовём их u и v
2. Для каждого вещества пишется уравнение, которое показывает:

– как оно распространяется в пространстве (это называется диффузией)
– как оно реагирует с другим веществом

Форма уравнения:

Изменение u со временем = диффузия u + реакция между u и v
Изменение v со временем = диффузия v + другая реакция между u и v

Проще говоря:
– если где-то концентрация вещества выше, оно будет растекаться — как капля на бумаге
– если вещества рядом, они могут вступить в реакцию — как краска и отбеливатель

А где тут фрактал? Если запустить эти уравнения на компьютере и наблюдать, как всё меняется с течением времени, то из хаотичных начальных условий появляются устойчивые, повторяющиеся узоры. Это и есть фрактал Белоусова:
– развивается шаг за шагом
– образует узоры, похожие сами на себя
– и сильно зависит от начальных условий и параметров

Если изменить параметры хоть чуть-чуть, структура сразу меняется. Это типичная особенность хаотических систем: они чувствительны ко всему, даже к мелочам.

➕ Где это используется?

– В моделировании биологических процессов, например — как формируются ткани
– В генерации узоров с помощью искусственного интеллекта
– В физике и химии, когда изучают, как хаос может породить порядок

👍 Фрактал Белоусова показывает, как простые математические правила могут создавать сложные, почти живые структуры. Это не картинка, нарисованная человеком. Это поведение системы, записанное в уравнениях.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты

⚫️Math || #мемы

Закончим тему фракталов. Перейдём к следующей теме:

📈 Прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего на одно и то же число

Например:

3, 7, 11, 15, 19...

Здесь каждое число больше предыдущего на 4. Это число и называется разностью прогрессии.

✍️ Обозначения:

– первый член: a₁
– номер элемента: n
– разность: d
– n-й элемент: aₙ

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Если хочешь узнать, например, 20-й элемент, не надо выписывать всё вручную. Просто подставляешь в формулу — и всё. А если нужно сложить, скажем, первые 50 чисел такой прогрессии? Формула суммы:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Это формулу придумал Гаусс. Точнее в детстве он таким образом посчитал от 1 до 100. Следующий шаг — геометрическая прогрессия: когда каждый шаг не прибавляет, а умножает. Там уже всё куда бодрее В отличие от арифметической прогрессии, где мы каждый раз прибавляем одно и то же, геометрическая прогрессия работает по-другому: каждое число умножается на одно и то же.

Например:

2, 4, 8, 16, 32...

Здесь каждое число в два раза больше предыдущего. Это число называется знаменателем прогрессии.

Новое обозначение. Знаменатель: q
Формула n-го члена:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

📝 Например, если первый член — 2, а q = 3, то:
a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

Формула суммы:

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1), если q ≠ 1

Тут уже видно, как всё начинает расти быстрее. При больших q, сумма увеличивается очень резко. Это и есть экспоненциальный рост — тот самый, который встречается в биологии и экономике. Всё начинается с одного — а потом разрастается в лавину. В следующих двух постах мы будем выводить данные формулы

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы