⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

Что такое множество Мандельброта?

Это не просто фрактал. Это набор комплексных чисел, поведение которых при итерации зависит от самого себя.

➕ Формула итерации

z₀ = 0
zₙ₊₁ = zₙ² + c

Здесь:
- zₙ — комплексное число на n-м шаге
- c — фиксированное комплексное число (оно же "точка на плоскости", которую проверяем)
- z₀ всегда начинается с нуля

Что значит “принадлежит множеству”?

Если при бесконечном повторении zₙ₊₁ = zₙ² + c значения zₙ не улетают в бесконечность* то c принадлежит множеству Мандельброта. Если zₙ уходит в бесконечность — нет.

🙂Пример:

Возьмём c = 1:
z₀ = 0
z₁ = 0² + 1 = 1
z₂ = 1² + 1 = 2
z₃ = 4 + 1 = 5 → 26 → 677 → всё, уехали в бесконечность.
Значит, c = 1 не входит в множество.

А вот c = i (мнимая единица) даёт "скачущую" последовательность, но ограниченную. Значит, входит.

📌 Важный момент:

Ты не можешь точно проверить, входит ли c в множество — ведь нужно бесконечно повторять. Поэтому на практике делают 100 – 1000 итераций, и если модуль zₙ стал слишком большим (например, |zₙ| > 2), считают, что всё, пошло в разнос.

Компьютеры это визуализируют, раскрашивая точки в зависимости от того, как быстро уходит она в бесконечность. Чем быстрее — тем ярче цвет.

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

❤️‍🔥 Каникулы!!

🥇 Поздравляю всех школьников с началом летнего отдыха. Теперь можно отложить учебники и немного перевести дух.

💪 Особые пожелания тем, кому ещё предстоит сдавать экзамены держитесь, осталось недолго.

Что касается меня этим летом планирую углубляться в математику, разбирать интересные темы и, возможно, писать об этом. Если у вас есть идеи или вопросы, которые стоит осветить, предлагайте комментариях.

Кроме того, собираюсь больше времени уделять спорту: уравновешивать умственную нагрузку и физическую.

А у вас какие планы на лето?

⚫️Math || #новости

🧪 Фрактал Белоусова

Фрактал Белоусова — это не просто красивая картинка. Это результат химической реакции, которая ведёт себя как система, способная сама организовываться. Реакция Белоусова–Жаботинского стала известной потому, что в ней появляется порядок там, где ожидался хаос.

📌 Немного химии:

Во время реакции вещества по кругу превращаются друг в друга. При этом в растворе появляются цветные волны, которые двигаются, пульсируют, сталкиваются. Возникают узоры — кольца, спирали, пятна. Всё это похоже на фракталы, хотя никто их специально не рисует.

🤔 Как это связано с математикой?

Учёные используют для этого пару уравнений, которые описывают, как меняется концентрация веществ во времени и в пространстве. Вот как они устроены:

1. Сначала берут два вещества — назовём их u и v
2. Для каждого вещества пишется уравнение, которое показывает:

– как оно распространяется в пространстве (это называется диффузией)
– как оно реагирует с другим веществом

Форма уравнения:

Изменение u со временем = диффузия u + реакция между u и v
Изменение v со временем = диффузия v + другая реакция между u и v

Проще говоря:
– если где-то концентрация вещества выше, оно будет растекаться — как капля на бумаге
– если вещества рядом, они могут вступить в реакцию — как краска и отбеливатель

А где тут фрактал? Если запустить эти уравнения на компьютере и наблюдать, как всё меняется с течением времени, то из хаотичных начальных условий появляются устойчивые, повторяющиеся узоры. Это и есть фрактал Белоусова:
– развивается шаг за шагом
– образует узоры, похожие сами на себя
– и сильно зависит от начальных условий и параметров

Если изменить параметры хоть чуть-чуть, структура сразу меняется. Это типичная особенность хаотических систем: они чувствительны ко всему, даже к мелочам.

➕ Где это используется?

– В моделировании биологических процессов, например — как формируются ткани
– В генерации узоров с помощью искусственного интеллекта
– В физике и химии, когда изучают, как хаос может породить порядок

👍 Фрактал Белоусова показывает, как простые математические правила могут создавать сложные, почти живые структуры. Это не картинка, нарисованная человеком. Это поведение системы, записанное в уравнениях.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты

⚫️Math || #мемы

Закончим тему фракталов. Перейдём к следующей теме:

📈 Прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего на одно и то же число

Например:

3, 7, 11, 15, 19...

Здесь каждое число больше предыдущего на 4. Это число и называется разностью прогрессии.

✍️ Обозначения:

– первый член: a₁
– номер элемента: n
– разность: d
– n-й элемент: aₙ

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Если хочешь узнать, например, 20-й элемент, не надо выписывать всё вручную. Просто подставляешь в формулу — и всё. А если нужно сложить, скажем, первые 50 чисел такой прогрессии? Формула суммы:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Это формулу придумал Гаусс. Точнее в детстве он таким образом посчитал от 1 до 100. Следующий шаг — геометрическая прогрессия: когда каждый шаг не прибавляет, а умножает. Там уже всё куда бодрее В отличие от арифметической прогрессии, где мы каждый раз прибавляем одно и то же, геометрическая прогрессия работает по-другому: каждое число умножается на одно и то же.

Например:

2, 4, 8, 16, 32...

Здесь каждое число в два раза больше предыдущего. Это число называется знаменателем прогрессии.

Новое обозначение. Знаменатель: q
Формула n-го члена:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

📝 Например, если первый член — 2, а q = 3, то:
a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

Формула суммы:

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1), если q ≠ 1

Тут уже видно, как всё начинает расти быстрее. При больших q, сумма увеличивается очень резко. Это и есть экспоненциальный рост — тот самый, который встречается в биологии и экономике. Всё начинается с одного — а потом разрастается в лавину. В следующих двух постах мы будем выводить данные формулы

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

▶️ Вывод формул арифметической прогрессии

Я считаю, что всегда легче запомнить формулу, выведя её. Формула aₙ = a₁ + (n - 1)·d — выглядит просто. Но давайте попробуем её вывести

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ...

Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности d. Посмотрим на первые несколько членов:

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + d + d = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d

То есть мы просто прибавляем d (n - 1) раз — потому что первый член d не содержит. И вот уже получаем ту самую формулу:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Теперь перейдём к следующей формуле

🟣 Сумма арифмитической прогрессии

Опять же, дана прогрессия:

a₁, a₂, a₃, ..., aₙ

Мы хотим найти сумму всех этих чисел. Обозначим её как Sₙ:

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ
Запишем в обратном порядке
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₁
Складываем два выражения — поэлементно
(a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + ... + (aₙ + a₁)

Каждая пара даёт одну и ту же сумму: (a₁ + aₙ)
А таких пар — ровно n. То есть:

2Sₙ = n · (a₁ + aₙ)
Делим на 2:
Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

🧠 Эта идея пришла в голову Гауссу, когда ему было 7 или 8 лет. Учитель дал задание: «сложите числа от 1 до 100». А он просто сложил 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — и понял, что пар 50, а каждая даёт 101

⚫️Math || #углублённо