🧪 Фрактал Белоусова

Фрактал Белоусова — это не просто красивая картинка. Это результат химической реакции, которая ведёт себя как система, способная сама организовываться. Реакция Белоусова–Жаботинского стала известной потому, что в ней появляется порядок там, где ожидался хаос.

📌 Немного химии:

Во время реакции вещества по кругу превращаются друг в друга. При этом в растворе появляются цветные волны, которые двигаются, пульсируют, сталкиваются. Возникают узоры — кольца, спирали, пятна. Всё это похоже на фракталы, хотя никто их специально не рисует.

🤔 Как это связано с математикой?

Учёные используют для этого пару уравнений, которые описывают, как меняется концентрация веществ во времени и в пространстве. Вот как они устроены:

1. Сначала берут два вещества — назовём их u и v
2. Для каждого вещества пишется уравнение, которое показывает:

– как оно распространяется в пространстве (это называется диффузией)
– как оно реагирует с другим веществом

Форма уравнения:

Изменение u со временем = диффузия u + реакция между u и v
Изменение v со временем = диффузия v + другая реакция между u и v

Проще говоря:
– если где-то концентрация вещества выше, оно будет растекаться — как капля на бумаге
– если вещества рядом, они могут вступить в реакцию — как краска и отбеливатель

А где тут фрактал? Если запустить эти уравнения на компьютере и наблюдать, как всё меняется с течением времени, то из хаотичных начальных условий появляются устойчивые, повторяющиеся узоры. Это и есть фрактал Белоусова:
– развивается шаг за шагом
– образует узоры, похожие сами на себя
– и сильно зависит от начальных условий и параметров

Если изменить параметры хоть чуть-чуть, структура сразу меняется. Это типичная особенность хаотических систем: они чувствительны ко всему, даже к мелочам.

➕ Где это используется?

– В моделировании биологических процессов, например — как формируются ткани
– В генерации узоров с помощью искусственного интеллекта
– В физике и химии, когда изучают, как хаос может породить порядок

👍 Фрактал Белоусова показывает, как простые математические правила могут создавать сложные, почти живые структуры. Это не картинка, нарисованная человеком. Это поведение системы, записанное в уравнениях.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты

⚫️Math || #мемы

Закончим тему фракталов. Перейдём к следующей теме:

📈 Прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего на одно и то же число

Например:

3, 7, 11, 15, 19...

Здесь каждое число больше предыдущего на 4. Это число и называется разностью прогрессии.

✍️ Обозначения:

– первый член: a₁
– номер элемента: n
– разность: d
– n-й элемент: aₙ

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Если хочешь узнать, например, 20-й элемент, не надо выписывать всё вручную. Просто подставляешь в формулу — и всё. А если нужно сложить, скажем, первые 50 чисел такой прогрессии? Формула суммы:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Это формулу придумал Гаусс. Точнее в детстве он таким образом посчитал от 1 до 100. Следующий шаг — геометрическая прогрессия: когда каждый шаг не прибавляет, а умножает. Там уже всё куда бодрее В отличие от арифметической прогрессии, где мы каждый раз прибавляем одно и то же, геометрическая прогрессия работает по-другому: каждое число умножается на одно и то же.

Например:

2, 4, 8, 16, 32...

Здесь каждое число в два раза больше предыдущего. Это число называется знаменателем прогрессии.

Новое обозначение. Знаменатель: q
Формула n-го члена:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

📝 Например, если первый член — 2, а q = 3, то:
a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

Формула суммы:

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1), если q ≠ 1

Тут уже видно, как всё начинает расти быстрее. При больших q, сумма увеличивается очень резко. Это и есть экспоненциальный рост — тот самый, который встречается в биологии и экономике. Всё начинается с одного — а потом разрастается в лавину. В следующих двух постах мы будем выводить данные формулы

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

▶️ Вывод формул арифметической прогрессии

Я считаю, что всегда легче запомнить формулу, выведя её. Формула aₙ = a₁ + (n - 1)·d — выглядит просто. Но давайте попробуем её вывести

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ...

Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности d. Посмотрим на первые несколько членов:

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + d + d = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d

То есть мы просто прибавляем d (n - 1) раз — потому что первый член d не содержит. И вот уже получаем ту самую формулу:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Теперь перейдём к следующей формуле

🟣 Сумма арифмитической прогрессии

Опять же, дана прогрессия:

a₁, a₂, a₃, ..., aₙ

Мы хотим найти сумму всех этих чисел. Обозначим её как Sₙ:

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ
Запишем в обратном порядке
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₁
Складываем два выражения — поэлементно
(a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + ... + (aₙ + a₁)

Каждая пара даёт одну и ту же сумму: (a₁ + aₙ)
А таких пар — ровно n. То есть:

2Sₙ = n · (a₁ + aₙ)
Делим на 2:
Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

🧠 Эта идея пришла в голову Гауссу, когда ему было 7 или 8 лет. Учитель дал задание: «сложите числа от 1 до 100». А он просто сложил 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — и понял, что пар 50, а каждая даёт 101

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

✅ Геометрическая прогрессия

Теперь, давайте выведем две формулы геометрической прогрессии. Начнём с nного элемента прогрессии. Ничего сложного, та же логика что и с арифметической прогрессией:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ...
a₁ = a₁
a₂ = a₁ · q
a₃ = a₁ · q · q = a₁ · q²
a₄ = a₁ · q³

То есть каждый раз мы просто умножаем на q ещё один раз. Поэтому:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Ничего сложного. Теперь выводим сумму прогрессии. Дана прогрессия:

a₁, a₁q, a₁q², ..., a₁qⁿ⁻¹

Хотим найти её сумму. Обозначим:

Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ⁻¹
Умножим на q:
qSₙ = a₁q + a₁q² + a₁q³ + ... + a₁qⁿ

Вычтем и вынесем формулу:

qSₙ - Sₙ = (a₁qⁿ - a₁)
Sₙ(q - 1) = a₁(qⁿ - 1)

Делим на (q - 1):

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1)

Это и есть искомая формула

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты

⚫️Math || #мемы

♾️ Бесконечная геометрическая прогрессия: вывод формулы

Не все прогрессии надо обязательно обрывать. Иногда можно сложить и бесконечно длинную последовательность. Главное — чтобы она убывала. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет вид:

a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + ...

Такую сумму можно найти, если знаменатель прогрессии q по модулю меньше 1: |q| < 1. Попробуем вывести, чему равна сумма такой прогрессии. Умножим обе части на q:
qS = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + ...
Теперь вычтем второе уравнение из первого:

S - qS = (a₁ + a₁q + a₁q² + ...) - (a₁q + a₁q² + a₁q³ + ...)
S - qS = a₁

Вынесем S за скобки:

S(1 - q) = a₁
S = a₁ / (1 - q)

Это и есть формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

🤔 Где пригодиться? Узнаем в следующем посте

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

Давайте попробуем использовать выше выведенные формулы на деле.

🟣 Чему равна сумма первых n нечётных чисел?

1 + 3 + 5 + ... (2n - 1)
Здесь читается простая арифметическая прогрессия:
a₁ = 1, d = 2, aₙ = 2n - 1
Давайте распишем сумму по формуле:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Sₙ = (1 + (2n - 1)) · n / 2 = (2n) · n / 2 = n²

✔️ Ответ: 1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n²


🔴 Чему равна бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/4... ?

Опять же: дана прогрессия
a₁ = 1, q = 1/2
Сумма бесконечной прогрессии при |q| < 1:

S = a₁ / (1 - q)
S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2

↘️ Ответ: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8... = 2

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы