⚫️Math || #мемы

Закончим тему фракталов. Перейдём к следующей теме:

📈 Прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего на одно и то же число

Например:

3, 7, 11, 15, 19...

Здесь каждое число больше предыдущего на 4. Это число и называется разностью прогрессии.

✍️ Обозначения:

– первый член: a₁
– номер элемента: n
– разность: d
– n-й элемент: aₙ

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Если хочешь узнать, например, 20-й элемент, не надо выписывать всё вручную. Просто подставляешь в формулу — и всё. А если нужно сложить, скажем, первые 50 чисел такой прогрессии? Формула суммы:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Это формулу придумал Гаусс. Точнее в детстве он таким образом посчитал от 1 до 100. Следующий шаг — геометрическая прогрессия: когда каждый шаг не прибавляет, а умножает. Там уже всё куда бодрее В отличие от арифметической прогрессии, где мы каждый раз прибавляем одно и то же, геометрическая прогрессия работает по-другому: каждое число умножается на одно и то же.

Например:

2, 4, 8, 16, 32...

Здесь каждое число в два раза больше предыдущего. Это число называется знаменателем прогрессии.

Новое обозначение. Знаменатель: q
Формула n-го члена:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

📝 Например, если первый член — 2, а q = 3, то:
a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

Формула суммы:

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1), если q ≠ 1

Тут уже видно, как всё начинает расти быстрее. При больших q, сумма увеличивается очень резко. Это и есть экспоненциальный рост — тот самый, который встречается в биологии и экономике. Всё начинается с одного — а потом разрастается в лавину. В следующих двух постах мы будем выводить данные формулы

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

▶️ Вывод формул арифметической прогрессии

Я считаю, что всегда легче запомнить формулу, выведя её. Формула aₙ = a₁ + (n - 1)·d — выглядит просто. Но давайте попробуем её вывести

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ...

Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности d. Посмотрим на первые несколько членов:

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + d + d = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d

То есть мы просто прибавляем d (n - 1) раз — потому что первый член d не содержит. И вот уже получаем ту самую формулу:

aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Теперь перейдём к следующей формуле

🟣 Сумма арифмитической прогрессии

Опять же, дана прогрессия:

a₁, a₂, a₃, ..., aₙ

Мы хотим найти сумму всех этих чисел. Обозначим её как Sₙ:

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ
Запишем в обратном порядке
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₁
Складываем два выражения — поэлементно
(a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + ... + (aₙ + a₁)

Каждая пара даёт одну и ту же сумму: (a₁ + aₙ)
А таких пар — ровно n. То есть:

2Sₙ = n · (a₁ + aₙ)
Делим на 2:
Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

🧠 Эта идея пришла в голову Гауссу, когда ему было 7 или 8 лет. Учитель дал задание: «сложите числа от 1 до 100». А он просто сложил 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — и понял, что пар 50, а каждая даёт 101

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

✅ Геометрическая прогрессия

Теперь, давайте выведем две формулы геометрической прогрессии. Начнём с nного элемента прогрессии. Ничего сложного, та же логика что и с арифметической прогрессией:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ...
a₁ = a₁
a₂ = a₁ · q
a₃ = a₁ · q · q = a₁ · q²
a₄ = a₁ · q³

То есть каждый раз мы просто умножаем на q ещё один раз. Поэтому:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Ничего сложного. Теперь выводим сумму прогрессии. Дана прогрессия:

a₁, a₁q, a₁q², ..., a₁qⁿ⁻¹

Хотим найти её сумму. Обозначим:

Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁qⁿ⁻¹
Умножим на q:
qSₙ = a₁q + a₁q² + a₁q³ + ... + a₁qⁿ

Вычтем и вынесем формулу:

qSₙ - Sₙ = (a₁qⁿ - a₁)
Sₙ(q - 1) = a₁(qⁿ - 1)

Делим на (q - 1):

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1)

Это и есть искомая формула

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты

⚫️Math || #мемы

♾️ Бесконечная геометрическая прогрессия: вывод формулы

Не все прогрессии надо обязательно обрывать. Иногда можно сложить и бесконечно длинную последовательность. Главное — чтобы она убывала. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет вид:

a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + ...

Такую сумму можно найти, если знаменатель прогрессии q по модулю меньше 1: |q| < 1. Попробуем вывести, чему равна сумма такой прогрессии. Умножим обе части на q:
qS = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + ...
Теперь вычтем второе уравнение из первого:

S - qS = (a₁ + a₁q + a₁q² + ...) - (a₁q + a₁q² + a₁q³ + ...)
S - qS = a₁

Вынесем S за скобки:

S(1 - q) = a₁
S = a₁ / (1 - q)

Это и есть формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

🤔 Где пригодиться? Узнаем в следующем посте

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

Давайте попробуем использовать выше выведенные формулы на деле.

🟣 Чему равна сумма первых n нечётных чисел?

1 + 3 + 5 + ... (2n - 1)
Здесь читается простая арифметическая прогрессия:
a₁ = 1, d = 2, aₙ = 2n - 1
Давайте распишем сумму по формуле:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Sₙ = (1 + (2n - 1)) · n / 2 = (2n) · n / 2 = n²

✔️ Ответ: 1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n²


🔴 Чему равна бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/4... ?

Опять же: дана прогрессия
a₁ = 1, q = 1/2
Сумма бесконечной прогрессии при |q| < 1:

S = a₁ / (1 - q)
S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2

↘️ Ответ: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8... = 2

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

⬇️ Погружаемся глубже: Гармоническая прогрессия

Гармоническая прогрессия — это последовательность, у которой обратные значения образуют арифметическую прогрессию.

Пример:
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... → их обратные: 1, 2, 3, 4 — это обычная арифметика

✍️ То есть:
если aₙ = 1 / bₙ,
и bₙ — арифметическая прогрессия,
то aₙ — гармоническая.

Формула n-го члена:
aₙ = 1 / (a + (n - 1)·d)

Здесь a — первый член обратной арифметической прогрессии, d — разность

🔥 Гармонические прогрессии встречаются:
– в физике (напр., длины волн в резонансе)
– в задачах на «вклад по времени», «работа вместе»
– в теории чисел и анализе

Сумма гармонической прогрессии растёт бесконечно — но очень медленно (логарифмически). То есть сумма есть, но конечной она не станет.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты